《高等数学》电子课件（同济第六版）第十一章 第3节 格林公式及应用2.ppt

* 思考与练习 1. 设 且都取正向, 问下 列计算是否正确 ? 提示: 时 * 2. 设 求 提示: * 练 习 题 * * * * 练习题答案 * * * * G y x o 一、曲线积分与路径无关的定义 B A 如果在区域G内 * 二. 平面曲线积分与路径无关等价条件 定理2. 设D是单连通开区域 , 在D 内具有一阶连续偏导数 , (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 (3) (4) 在D内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分, 即 * (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. 证明 (1) (2) 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则 * (3) 在D内是某一函数 的全微分, 即 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. 证明 (2) (3) 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 。 。 。 和任一点B( x , y ) , 与路径无关 , 设 * (3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (4) 在D内每一点都有 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 从而在D内每一点都有 * (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (4) 在D内每一点都有 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 (如图 ), 因此在 上 利用格林公式 , 得 证明 (4) (1) * 二. 平面曲线积分与路径无关等价条件 定理2. 设D是单连通开区域 , 在D 内具有一阶连续偏导数 , (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 (3) (4) 在D内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分, 即 * 说明: 若在某区域内有 则 (2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, (3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 内的原函数: 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 (1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; * 解：因为 即不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 * 其参数方程为 * 例2. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x,y) 使 。 。 * 例3. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数, 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 。 。 * 。 。 或 * 故积分路径可取圆弧 例4. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的 功W. ( 其中 ) 解: 令 则有 ?曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关, 思考：积分路径是否可以取 为什么？ * 设函数 平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分 与路径无关，并且对任意t恒有 解：由积分与路径无关的条件知 * 两边对t求导得 * 三、全微分方程及其求法 1.定义: 则 若有全微分形式 例如 全微分方程 或恰当方程 所以是全微分方程. * 2.解法: (1)应用曲线积分与路径无关. 通解为 (2) 用直接凑全微分的方法. 为全微分方程 * 例1. 求解 解: 因为 故这是全微分方程 , 取 则有 因此方程的通解为 * 例2. 求解 解: 因为 所以这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程写为 即 故原方程的通解为 或 * 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例3 * 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例4 * 二、积分因子法 定义: 问题: 如何求方程的积分因子? * 思考: 如何求解方程 这不是一个全微分方程 , 就化成 对一个非全微分方程 , 若有一个适当的函数 使 为全微分方程 , 在简单情况下, 求积分因子可凭观察和经验得到 . 则称函数 为原方程的积分因子. 但若在方程两边同乘 例2 的方程