《高等数学》电子课件（同济第六版）第十一章 第3节 格林公式及应用1.ppt

* 一、几个概念 1、设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 单连通区域是无“洞”区域 复连通区域是有“洞”区域 * 2、边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. * 二、格林公式 定理1 * 证明 y x o a b D c d A B C E * 同理可证 两式相加得 y x o D c d A B C E * 三、简单应用 1. 简化曲线积分 所以由格林公式 * 例2. 计算 其中L为上半圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 , 它与L 所围区域为D , 则 原式 * x y o A B ? * x y o A B * 解 * * * 2. 简化二重积分 x y o * x y o * 3. 计算平面面积 * 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆 所围面积 * 解 * * 四、小结 1.连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系 3. 格林公式的应用. ——格林公式; * 若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。 思考题 * 思考题解答 由两部分组成 外边界： 内边界： 设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数在上具有一阶连续偏导数, 则有 (1) 其中是的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. 若区域既是型又是型,即平行于坐标轴的直线和至多交于两点. 解 引入辅助曲线, 例4 计算, 则当时, 有. 记所围成的闭区域为, 令, 由格林公式知 作位于内圆周 , 记由和 所围成, 应用格林公式,得 例5 计算,其中是以为顶点的三角形闭区域. 解 令, 则 , 应用格林公式,有 格林公式: 取 得 闭区域的面积 . 取 得 取 得 曲线由函数 表示, 例6 计算抛物线与轴所围成的面积. 为直线.