《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 第2节常数项级数审敛法.ppt

* 例17. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . * 例17. 证明下列级数绝对收敛 : (2) 令 因此 收敛 , 绝对收敛 . * 例18. 下列级数是否绝对收敛 : * * * * * 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 部分和极限 * 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 概念: * 练习与思考题 1、判别级数 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 收敛， * * 解 因分母的最高次数与分子的最高次数之差为 用比较法！ 则取 为 p 级数，且 p1, 则原级数收敛。 * * 解： 比值法失效，但 故级数发散。 * 解：考虑以 为通项的级数 用比值法知级数收敛， 4、求证 * 5、设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . * 第二节 常数项级数的审敛法 一. 正项级数及一般审敛法则 若 定理 1 正项级数 收敛 部分和序列 有界. 若 收敛 , 则 由于 则部分和数列 有界, 故 从而 又已知 因此它有界. 则称 为正项级数. 收敛 , 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 如级数 * 定理2 (比较审敛法) 设 和 是两个正项级数, 对任意的自然数 有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 证: 令 则有: 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 和 分别表示级数 和级数 的 则有 部分和 , 由于 * (1) 若级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知 , 级数 则有 (2) 若级数 因此 这说明 级数 也发散 . 和 是两个正项级数 , 也收敛 . 发散 , 收敛 , * 比较审敛法推广 设 和 是两个正项级数, 且存在 对一切 有 ( 常数 k 0 ) (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 则有: 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . * 证明 * 解 由图可知 * 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. * * * * 定理3. (比较审敛法的极限形式) 设 和 是 两个正项级数 , 若 则有 (1) 当 时 , 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 且级数 收敛时 , 级数 也收敛 ; (3) 当 且级数 发散时 , 级数 也发散 . 证: 根据极限定义 , 对 存在 当 时, 即有 * (1) 当 时 , 取 由定理 2 可知级数 与 同时收敛或同时发散 ; (2) 当 时 , 由定理2 可知, 若级数 收敛 , 也收敛 . 利用 (3) 当 时 , 存在 当 时 , 即 由定理2可知 , 若级数 发散 , 则级数 也发散. 则级数 * 是两个正项级数 , (1) 当 时 , 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 且级数 收敛时 , 级数 也收敛 ; (3) 当 且级数 发散时 , 级数 也发散 . . * 例7.判别级数 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知级数 发散. 例8. 判别级数 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 收敛. * 故原级数收敛. * * 二. 比值审敛法和根值审敛法 1. 比值审敛法 定理4 设 为正项级数 , 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 当 由 取 ? 使 收敛 , 收敛 . 时 , 级数收敛 ; 或 时 , 级数发散 . 时, 知存在 当 时 由比较审敛法可知, 级数 *