《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 第4节 泰勒级数.ppt

* 2.阿贝尔法(构造幂级数法): (逐项积分、逐项求导) 例4 解 * * 例5 解 * （四）欧拉公式 复数项级数: * 复数项级数绝对收敛的概念 三个基本展开式 * * 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系. 欧拉公式 * 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式 * 当 m = –1 时 * 1、 函数 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ? 提示: 后者必需证明 前者无此要求. 练习与思考题 * * 2、将 展开为 x 的幂级数. 解: 因此 * 第四节 泰勒级数 一、函数的泰勒展开式 二 初等函数的幂级数展开式 三、函数的幂级数展开式的应用 四、内容小结 * 一、函数的泰勒展开式 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? * n阶泰勒公式 若函数 在 的某邻域内具有 阶导数 , 则在该 其中 ( ? 在 x 与 之间) 称为拉格朗日余项 . 此式称为 的 阶泰勒公式 , 邻域内有 : * 如果 在 的某邻域内存在任意阶导数 , 则称下 为 的泰勒级数 . 列级数 当 时, 泰勒级数变为 . 称为麦克劳林级数 . * 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 麦克劳林级数 * 定理 1 各阶导数, 设函数 在点 的某一邻域 内具有 则 条件是 的泰勒公式中的余项满足 证明: 令 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 * 定理2 若 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 则在收敛区间内 显然结论成立 . * 二:初等函数的幂级数展开式 1. 直接展开法 由上述泰勒级数理论可知 , 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 是否 内 为0 . 函数 展开成幂级数 的步骤如下 : * 例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ? 级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有 故 ( ? 在 0 与 x 之间 ) * 例2. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ? 级数的收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项有 * 类似可推出 * 例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中 m 为任意常数 . 解: 容易求出 于是 ? 由于 因此, 对任意常数 级数在开区间 内收敛 . m , * 为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为 * 由此得 称为二项展开式 . 说明： 1 . 在 处的收敛性与 有关 . 2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. * 对应 的二项展开式分别为 * 2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将 所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 把 x 换成 , 得 * 例5. 将函数 展开成 x 的幂级数 . 解: 从 0 到 x 积分 上式右端的幂级数在 收敛 , 而 在 有 定义, 且连续 , 所以展开式对 也是成立的 , 于是收敛 区间为 利用此题可得 * * * * 例8. 将 展成 解: 的幂级数. * 例9. 将 展成 的幂级数. 解: * * （一）近似计算 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. 三、函数的幂级数展开式的应用 * 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 解 * 余和: * 例2 解 其误差不超过 . * （二）计算定积分 解法 逐项积分 展开成幂级数 定积分的近似值 被积函数 * 第四项 取前三项作为积分的近似值,得 例3 解 收敛的交错级数 * （三）求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直