高等数学2第十一章答案(修).doc

习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分： （1），其中为圆周， ； （2），其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界； （3），其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； （4），其中为折线，这里、、、依次为点、、、； （5），其中为摆线的一拱，. 2.有一段铁丝成半圆形，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。 解 曲线的参数方程为 依题意，所求质量 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分： （1），其中是抛物线上从点到点的一段弧； （2），其中为圆周（按逆时针方向绕行）； （3），其中是从点到点的一段直线； （4），其中为有向闭折线，这里、、依次为点、、； 2.计算，其中是： （1）抛物线上从点到点的一段弧； （2）从点到点的直线段； （3）先沿直线从点到点，然后再沿直线到的折线； （4）曲线，上从点到点的一段弧。 3.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为： （1）在面内沿直线从点到点； （2）沿抛物线从点到点； （3）沿上半圆周从点到点. 4.设为曲线，，上相应于从变到的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。 习题11-3 格林公式及其应用 1. 利用曲线积分，求星形线，所围成的图形的面积。 2.计算曲线积分，其中为圆周，的方向为逆时针方向。 3. 证明曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值。. 4.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1），其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界； （2），其中是在圆周上由点到点 的一段弧。 5.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个： （1）； （2） 6.计算，其中为由点到点的曲线弧 解 原积分与路径无关， 故原式 习题11-4 对面积的曲面积分 1. 计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分。 2. 计算，其中是锥面被平面和所截得的部分。 3.计算下列对面积的曲面积分： （1），其中为平面在第一卦限中的部分； （2），其中为球面上的部分； 4.求抛物面壳的质量，此壳的面密度为. 5.计算，其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。 解 ， ，在上， ，在面的投影为 在上，，在面的投影为 习题11-5 对坐标的曲面积分 1.计算下列对坐标的曲面积分： （1），其中为球面的下半部分的下侧： （2），其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧； 2.把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中 （1）是平面在第一卦限的部分的上侧； （2）是抛物面在面上方的部分的上侧； 3.计算，其中为球面在第一挂限部分曲面块的上侧，为正数。 解 由对称性， 在面上的投影域为 所以 习题11-6 高斯公式 1.利用高斯公式计算曲面积分： （1），其中为平面，，，，，所围成的立体的表面的外侧； （2），其中是界于和之间的圆柱体的整个表面的外侧； （3），其中为平面，，，，，所围成的立方体的全表面的外侧； 2.计算曲面积分，其中是曲面的外侧. 解 添加平面，取上侧，使构成封闭，应用高斯公式地 习题11-7 斯托克斯公式 1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分： （1），其中为圆周，，若从轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向； （2），其中为圆周，，若从轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； （3），其中为圆周，，若从轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； 复习题十一 1.计算下列曲线积分： （1），其中为圆周； （2），其中为摆线，上对应从到的一段弧； （3），其中为上半圆周，沿逆时针方向； 2.计算下列曲面积分： （1），其中是界于平面及之间的圆柱面； （2），其中为锥面 的外侧； （3），其中为半球面上侧； 3.证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。 4. 计算曲线积分，其中是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。 解法一 在内作一圆：，方向逆时针 由格林公式有 = ： 法二: 由参数法将得积分代入四部分之和 5．计算 ，其中为锥面介于平面及之间部分的上侧。 解 添加，取下侧