高等数学下第十一章第八节.ppt

* * §8 一般周期函数的 傅里叶级数 定理 设周期2l 的函数 f(x)满足收敛定理的条件，则可 展开成如下形式的傅里叶级数： 其中 n ?0 , 1 , 2 , … , n ?1 , 2 , … 。 证 作变量代换 则F(z)以2? 为周期且满足收敛 定理的条件，可展成傅里叶级数： 显然 ?l ? x? l ?? ?? ? z?? ； 一、周期2l 的函数的傅里叶级数 注意到F(z ? 0) ? f(x ? 0)，得 其中系数 (1)周期2l 的奇函数f(x)的傅里叶级数是正弦级数 说明 n ?1 , 2 , … 。 (2)周期2l 的偶函数f(x)的傅里叶级数是余弦级数 n ?0 , 1 , 2 , … 。 ?2 2 4 ?4 x y 解 f(x)满足收敛定理的条件，l ? 2。 例1(P252) 设 f(x)周期为4，它在[?2, 2)上的表达式为 k ? 0, 将它展成傅里叶级数。 n ?1 , 2 , … 。 (3) 定义在[?l , l ]或[0, l ]上的函数也可展成傅里叶级数， 只需类似地进行周期延拓或奇、偶延拓。 k 例2 设以4为周期的奇函数 f(x) 满足收敛定理的条件， 试写出其傅里叶级数的形式表达式。 解 这里 2l ?4，l ?2， f(x)是奇函数，傅里叶级数为 说明：题中 f(x)即使不满足收敛定理的条件，只要它在[0 , 2]上可积，也可形式地写出它的傅里叶级数 但此级数不一定收敛于f(x)。 例3 解 实际上是求 f(x) ? x 在[0, 1]上的余弦级数的系数。 0 ? x ? 1。 解 作变量代换 z ? x ?10，则 5 ? x ?15 ?? ?5? z?5 ， 例4 将函数 f(x) ?10 ?x (5? x?15)展开成傅氏级数。 n ?1, 2 , … 。 ?5? z?5。 f(x) ? ?z F(z)，F(z)是奇函数。补充定义F(?5) ?5， 再将F(z)作周期 T ?10的周期延拓，显然延拓后的函数满足收敛定理的条件，且在(?5 , 5 )内收敛于F(z)。 说明：为了通过变量代换 x ?At ?B 把定义在[a, b]上的 函数 f(x)变为[?? , ?]上的函数 F(t) ? f(At ?B)，应使 ?利用欧拉公式，可将周期2l 的函数 f(x)的傅里叶级数 表示为复数形式。 二、傅里叶级数的复数形式 其中 n ?1 , 2 , … ； n ?1 , 2 , … 。 统一起来： n ?0 , ?1 , ?2 , … 。 其中 小结 (1)周期2l 的函数f(x)的傅里叶级数： n ?0 , ?1 , ?2 , … 。 其中 (2)周期2? 的函数f(x)的傅里叶级数： n ?0 , ?1 , ?2 , … 。