《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 第5节 傅立叶级数.ppt

* 例3. 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数. 将 则有 作奇周期延拓, * 注意: 在端点 x = 0 , ? , 级数的和为0 , 与原函数的值不同 . * 再求余弦级数. 将 则有 作偶周期延拓 , * 说明: 令 x = 0 可得 即 * 六 以2l为周期的函数的傅立叶级数 周期为 2l 函数 周期为 2? 函数 变量代换 作傅氏展开 将 的傅氏展开式 * 定理 设周期为2l 的周期函数 则它的傅立叶展开式为 ( 在 f (x) 的连续点处 ) 其中 以2l 为周期的函数的傅立叶展开 满足收敛定理条件, * 证明: 令 则由 令 则 所以 是以2?为周期的周期函数 , 且它满足收敛定 理条件, 将它展成傅立叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) 变成 * ( 在 F(z) 的 连续点处 ) 其中 令 ( 在 f (x) 的 连续点处 ) * ( 在 f (x) 的 连续点处 ) 其中 如果 f (x) 为奇函数 , 则有 其中 ( 在 f (x) 的连续点处 ) * 如果 f (x) 为偶函数 , 则有 ( 在 f (x) 的连续点处 ) 其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处 , 傅立叶 级数收敛于 * 例1. 交流电压 经半波整流后负压消失, 试求半波整流函数的傅立叶级数. 解: 这个半波整流函数的 周期是 , 它在 [ , ]上的表达式为 * 时 * n 1 时 * 由于半波整流函数 f ( t ) 在 直流部分 2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小 , 因此在实际应用中取展开式中前几项就够了 . 说明: 交流部分 上连续, 由收敛 定理可得 * 例2. 把 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数 . 解: (1) 将 作奇周期延拓, 则有 在 x = 2 k 处级数收敛于何值 ? * (2) 将 作偶周期延拓 , 则有 * 说明: 此式对 也成立 , 据此有 由此还可导出 * 当函数定义在任意有限区间上时, 其傅立叶展开方法为: 方法1. 令 即 在 上展成傅立叶级数 周期延拓 将 在 代入展开式 上的傅立叶级数 . * 方法2. 令 在 上展成正弦或余弦级数 奇或偶式周期延拓 将 代入展开式 在 即 上的正弦或余弦级数 . * 例3. 将函数 展成傅立叶级数. 解: 令 设 将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数 , 则它满足收敛定理 条件 . 由于F(z) 是奇函数，故 * 内容小结 1、周期为 2? 的函数的傅立叶级数及收敛定理 . 间断点) 其中 注意: 若 为间断点 , 则级数收敛于 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3、 在 [ 0 , ? ] 上函数的傅立叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 2、周期为 2? 的奇、偶函数的傅立叶级数 * ( x ? 间断点) 其中 当 为奇 函数时 (偶) (余弦) 5、在任意有限区间上函数的傅立叶展开法 变换 延拓 为正弦 函数 . 4、周期为 的函数的傅立叶级数展开公式 * 思考与练习 2、将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形 ? 答: 易看出奇偶性及间断点 , 3、计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算时 , 如出现某些正整数作分母, 这些正整数对应的系数就必须单独计算 . 从而便于计算系数和写 出收敛域 . 1、在 [ 0 , ? ] 上的函数的傅立叶展开法唯一吗 ? 答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . * 处收敛于 4、 则它的傅里叶级数在 在 处收敛于 . 提示: 设周期函数在一个周期内的表达式为 , * 5、写出函数 傅氏级数的和函数 . 答案: * * 6、设 又设 求当 的表达式 . 解: 由题设可知应对 作奇延拓: 由周期性: 为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域 * * 7、设 是以 2? 为周期的函数 , 其傅氏系数为 则 的傅氏系数 提示: 令 * 由此定理可以看出 , 函数展成傅立叶级数的条件比 展成幂级数的条件低得多. 这正是傅立叶级数具有广泛 应用的重要原因 . * * 第五节 傅立叶级数 六、以2l为周期的函数的傅立叶级数 一、问题的提出 二、 三角级数及三角函数系的正交性 三、 周期为 2? 的周期函数的傅立叶级数 四、定义在 [–? ,?]上的函数 f (x)