《高等数学》电子课件（自编教材）第十一章 习题课.ppt

课堂练习: 利用比值判别法 , 可知原级数发散 . 2 例3 设正项级数 例4. 若级数 奇延拓: (5) 周期的延拓 偶延拓: 二、典型例题 例1 解 根据级数收敛的必要条件， 原级数发散． 解 根据比较判别法， 原级数收敛． 解 从而有 原级数收敛； 原级数发散； 原级数也发散． 例２ 解 即原级数非绝对收敛． 由莱布尼茨定理： 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 1判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 当 故 利用比较判别法,可知原级数发散 而调和级数是发散的 , 时, 有 用比值判别法, 可判断级数 收敛， 因 n 充分大时 由 发散, 知原级数发散 . 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时发散 ; 时, 与 p 级数比较可知: 时收敛 时发散 从而原级数收敛 . 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 提示: (1) 时, 绝对收敛 ; 时, 条件收敛 ; 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 收敛 , 故原 级数绝对收敛 . 因 单调递减 , 且 但 所以原级数条件收敛 . 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 因 所以原级数绝对收敛 . 和 也收敛 . 提示: 因 ? 存在 N 0 , 又因 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 . 都收敛 , 证明级 数 当 n N 时 与 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: 则 与 收敛 收敛 收敛 收敛 证明级数 收敛。 证明： 从而数列 的极限存在 考察正项级数 ，设它的部分和为 ，则 因 存在，故 存在， 也就是正项级数 收敛。 由比较审敛法知原级数收敛。 例7 解 两边逐项积分 例8 解 * 常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 幂级数 三角级数 收 敛 半 径 R 泰勒展开式 数或函数 函 数 数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 傅氏级数 泰勒级数 满足狄 氏条件 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 一、主要内容 1、常数项级数 级数的部分和 定义 级数的收敛与发散 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质 常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数 4.绝对收敛 定义 2、正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. 3、交错级数及其审敛法 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 4、任意项级数及其审敛法 5、函数项级数 (1) 定义 (2) 收敛点与收敛域 (3) 和函数 (1) 定义 6、幂级数 (2) 收敛性 推论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. a.代数运算性质: 加减法 (其中 (3)幂级数的运算 乘法 (其中 除法 b.和函数的分析运算性质: 7、幂级数展开式 (1) 定义 (2) 充要条件 (3) 唯一性 (3) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. (4) 常见函数展开式 (1) 三角函数系 三角函数系 8、傅里叶级数 (2) 傅里叶级数 定义 三角级数 其中 称为傅里叶级数. (3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (4) 正弦级数与余弦级数 * * * 常数项级数收敛(发散)存在(不存在). 若收敛(发散)且, 则收敛(发散). 设为正项级数, 如果 (或), 则级数发散; 如果有, 使得存在, 则级数收敛. (3) 极限审敛法 (4) 比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法) 设是正项级数,如果 则时级数收敛;时级数发散; 时失效. (5) 根值审敛法 (柯西判别法) 设是正项级数, 如果, 则时级数收敛; 时级数发散;时失效. 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ);(ⅱ),则级数收敛,且其和,其余项