《高等数学》电子课件（同济第六版）第十一章 第5节 对坐标的曲面积分.ppt

* * 六、小结 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号” * * 莫比乌斯带 典型单侧曲面: * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 * * 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 上侧和下侧 内侧和外侧 左侧和右侧 * 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 * 莫比乌斯带 典型单侧曲面: * 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 有向曲面的投影问题: * 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. * * 1. 分割 则该点流速为 . 单位法向量为 . * 3. 求和 * 4.取极限 * 三、概念及性质 * 被积函数 积分曲面 类似可定义 * 存在条件: 组合形式: 物理意义: * 性质: * 四、计算法 * * 注意(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. * 解 * * 其中 是旋转抛物面 取下侧。 解： 在xoy 面投影域为 取 的方向为下侧， 其中： 把 分成两部分： * 取前侧； 取后侧。 * * 例3. 计算积分 其中 ? 是以原点为中心, 边长为 a 的正立 方体的整个表面的外侧. 解: 由被积表达式及积分曲面的对称性知 原式 ? 的顶部 取上侧 ? 的底部 取下侧 * 五、两类曲面积分之间的联系 * * * 两类曲面积分之间的联系 * 向量形式 * 例4. 设 是其外法线与 z 轴正 向夹成的锐角, 计算 解: * 解 * * 在有向曲面Σ上取一小块 曲面 (1) 流速场为常向量 ,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1). 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量. 把曲面Σ分成小块(同时也代表 第小块曲面的面积), 在上任取一点 , 该点处曲面Σ的单位法向量 , 通过流向指定侧的 流量的近似值为 通过Σ流向指定侧的流量 , 定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成块小曲面(同时又表示第块小曲面的面积),在面上的投影为,是上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值时, 存在, 则称此极限为函数在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分(也称第二类曲面积分) 记作,即 当在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在. 设积分曲面Σ是由方程所给出的曲面上侧,Σ在面上的投影区域为,函数在上具有一阶连续偏导数,被积函数在Σ上连续. 例1 计算 其中Σ是球面外侧 在的部分. 设有向曲面Σ是由方程给出,Σ在面上的投影区域为, 函数在 上具有一阶连续偏导数, 在Σ上连续. 对坐标的曲面积分为 曲面Σ的法向量的方向余弦为 对面积的曲面积分为 所以 (注意取曲面的两侧均成立) 其中为有向曲面Σ上点处的单位法向量, 称为有向曲面元,为向量在上的投影. 例5 计算,其中Σ是旋转抛物面介于平面及 之间的部分的下侧. 把对坐标的曲面积分 化 成对面积的曲面积分,其中是平面 在第一卦限的部分的上侧 . 答案：.