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《高等数学》电子课件(同济第六版)03第十章第3节 三重积分.ppt

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* * * 解 例3 求球体 与锥体 公共部分的体积. * * 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 (计算时将三重积分化为三次积分) 三、小结 * (1) 柱面坐标的体积元素 (2) 球面坐标的体积元素 (3) 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 三、小结 * * 思考题 * 练 习 题 * * * * 练习题答案 * * * 思考题 选择题: * * 练 习 题 * * * 练习题答案 * * 一、 三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结及作业 * 一、 三重积分的概念 采用 ? 引例:设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀 的物质, 密度函数为 求分布在 ? 内的物质的质量 M . 可得 “分割,近似,求和,取极限” * 定义: 设 存在 , 称为体积元素 若对 ? 作任意分割, 及任意取点 , 下列“乘积和式”的极限 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下也常写作 * 性质 中值定理: 设 在有界闭域 上连续, 使得 其中V为 的体积. 三重积分的性质与二重积分相似 , 例如 计算方法 则存在 一点 * 1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分. 二、三重积分的计算 如图, 在直角坐标系下 * 化三重积分为三次积分 * 其中?为三个坐标面及平面 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: * 解 * * 解 如图, * * * 解 * 原式 * 3、利用柱面坐标计算三重积分 规定: * 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图,三坐标面分别为 圆柱面; 半平面; 平 面. *   如图,柱面坐标系中的体积元素为 * 其中?为由柱面 例1. 计算三重积分 所围成半圆柱体. 解: 在柱面坐标系下 及平面 * 例2. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 * 解 知交线为 * * 解 所围成的立体如图, * 所围成立体的投影区域如图, * * * 4、利用球面坐标计算三重积分 * 规定: 如图,三坐标面分别为 圆锥面; 球 面; 半平面. * 球面坐标与直角坐标的关系为 如图, * 球面坐标系中的体积元素为 如图, * 例1. 计算三重积分 其中?为 解: 在球面坐标系下 所围立体. 锥面 与球面 * 例2 化三重积分 为三次积分,其中积分区域 为由曲面 及所围成的闭区域. 由, 得交线投影区域 故 : , 化三重积分 为三 次积分,其中 积分区域 为由曲面, ,, 所围 成的空间闭区域. . 截面法的一般步骤: 把积分区域向某轴(例如 轴)投影,得投影区间; 对用过 轴且平行平面的平面去截,得截面; 例1 计算三重积分,其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域. 解(一) 原式. 例2 计算三重积分,其中 是由 椭球面所成的空间闭区域. * * * * 原式 计算,其中是球面 与抛物面 所围的立体. 例4 计算 , 其中是曲线 , 绕轴旋转一周而成的曲面与两平面所围的立体. 由 绕 轴旋转得, 旋转面方程为 例2 计算 ,其中是锥面, 与平面 所围的立体. 解1 采用球面坐标 解2 采用柱面坐标 由锥面和球面围成, 采用球面坐标, 由 填空题: 若由曲面所围,则三重积分表示成直角坐标下的三次积分是_________________;在柱面坐标下的三次积分是_________________;在球面坐标下的三次积分是__________________. 若由曲面所围,将表为柱面坐标下的三次积分_________,其值为_______. 3、若空间区域为二曲面及 所围,则其体积可表为三重积分_______________;或二重积分______________;或柱面坐标下的三次积分___________________. 4、若由不等式,所确定,将表为球面坐标下的三次积分为_______________________;其值为__________. 二、计算下列三重积分: 1、,其中是由曲面及平面所围成的闭区域. 2、,其中由不等式 所确定. 3、, 其中. 三、求曲面及所围成的立体的体积. 四、曲面将球体分成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 所围成立体的重心(设密度). 六、求半径为,高为的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯
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