高等数学第六版第十章二重积分的概念与性质.ppt

一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 * E是如图所示的平面有界闭区域,称 为平面点集E的直径. 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 步骤如下： 用平顶柱体体积 近似计算第i个小 曲顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，第i个小区域 曲顶柱体的体积 i=1,2,3,…,n ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 第i个小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 特殊地 则有 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数． 思考题解答 练 习 题 练习题答案 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．