高等数学-8.1 二重积分的概念与性质.ppt

一、引例引例引例二、二重积分的定义二重积分的定义四、二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质第八章重积分二、二重积分的定义一、引例8.1二重积分的概念与性质四、二重积分的性质富比尼三、二重积分的存在定理解法:类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令，则有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为?,则若非常数,仍可用类似的思想其面密方法解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.引例2.平面薄片的质量2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量引例两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:引例定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作若函数定理2.在D上可积.有限个点或有限条光滑曲线外都连续,则在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去例如,在D:上二重积分存在.定理1.三、二重积分的存在定理在D上可积.(k为常数)?为D的面积,则特别地,由于则5.若在D上6.设D的面积为?,则有7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上?为D的面积,则至少存在一点使，使连续,因此其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而区域D从而位于该直线的上方,故在D上应用举例例1.比较下列积分的大小：解:D的面积为，由于积分性质5即:1.96?I?2D应用举例例2.估计积分值