2016-2高等数学二重积分.pptx

二重积分的概念

理学院公共数学教研室

张晓平

知识再现——定积分

分割

近似

求和

取极限

一元函数

坐标轴

二元函数

坐标面

定积分

二重积分

第一节二重积分的概念

二、平面薄片的质量

三、二重积分的概念

一、曲顶柱体的体积

柱体体积=底面积×

高

特点：平顶.

柱体体积=？

特点：曲顶.

一、曲顶柱体的体积

曲顶柱体：

以连续曲面z=f(x,y)≥0为顶的立体.

以xOy平面上的有界闭区域D为底,

以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面

“分割、近似、求和、取极限”

曲顶柱体的体积

“分割、近似、求和、取极限”

曲顶柱体的体积

“分割、近似、求和、取极限”

曲顶柱体的体积

“分割、近似、求和、取极限”

曲顶柱体的体积

“分割、近似、求和、取极限”

曲顶柱体的体积

“分割、近似、求和、取极限”

曲顶柱体的体积

“分割、近似、求和、取极限”

曲顶柱体的体积

x

O

z

y

D

S

i

1）分割：化整为零

2）近似：以平代曲

(xi,hi)

用曲线网将D任意分割

x

O

z

y

D

i

1）分割：化整为零

2）近似：以平代曲

3）求和：积零为整

(xi,hi)

用曲线网将D任意分割

x

O

z

y

D

i

用曲线网将D任意分割

1）分割：化整为零

2）近似：以平代曲

3）求和：积零为整

4）取极限：

x

O

z

y

D

1）分割：化整为零

2）近似：以平代曲

3）求和：积零为整

4）取极限：

用曲线网将D任意分割

二、平面薄片的质量

si

(xi,hi)

用曲线网把任意D分成n个小区域

设平面薄片占有xOy面上的区域D，它在点(x,y)处的面密度为连续函数

求此薄片的质量.

1）分割：化整为零

2）近似：以常代变

3）求和：积零为整

4）取极限：

两个问题的共性：

(1)解决问题的步骤相同

(2)所求量的结构式相同

“分割,近似,求和,取极限”

曲顶柱体体积:

平面薄片的质量:

定义：

将D任意分割成n个小区域：

表示第i块小区域的面积.

任取点

作

令

若极限

存在，

设

是定义在有界闭区域D上的有界函数，

则称此极限值为

D上的二重积分.

在区域

三、二重积分的概念

记作

积分区域

积分和

被积函数

即

积分变量

被积表达式

面积元素

曲顶柱体体积:

平面薄板的质量:

因此可积时,可用平行直角坐标轴的直线网来划分积分区域D，

故

D

说明

1）

定义中对区域D的划分是任意的.

的选取也是任意的.

得直角坐标系下的面积元素为

在闭区域D上可积的必要条件是：

2）

有界

在闭区域D上可积的充分条件是：

连续

几何意义:

表示曲顶柱体的体积.

若

表示曲顶柱体体积的相反数.

若

在D上变号时

表示体积的代数和,

3）

①

②

③

上方取正,下方取负.

根据二重积分的几何意义，指出下列积分值：

例1

解

思考：

根据二重积分的几何意义，指出下列积分值：

知识回顾

1.二重积分的定义

2.二重积分的几何意义

—曲顶柱体体积的代数和

（和式的极限）

预习：二重积分的性质及计算