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《高等数学》电子课件(同济第六版)04第十章第4节 重积分的应用.ppt

发布:2017-05-03约2.14千字共10页下载文档
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G 为引力常数 四、物体的引力 设物体占有空间区域 ?, 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 在?上积分即得各引力分量: 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 例4. 求半径 R 的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 点 为球的质量 * 几何应用:曲面的面积 物理应用:重心、转动惯量、 对质点的引力 (注意审题,熟悉相关物理知识) 三、小结 * * 思考题 * 薄片关于 轴对称 思考题解答 * 练 习 题 * * 练习题答案 * 二、三重积分的应用 三、小结 * 1.曲顶柱体的体积 * 例1. 求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围立体的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为: * * (二)、曲面的面积 卫星 * 1.设曲面的方程为: 如图, * 曲面S的面积元素 曲面面积公式为: 所以当曲面的方程为: * 3.设曲面的方程为: 曲面面积公式为: 2.设曲面的方程为: 曲面面积公式为: 同理可得 * 解 * * 解 解方程组 得两曲面的交线为圆周 在 平面上的投影域为 * * (三)、平面薄片的质心 设在 设在 平面上有n个质点,它们分别位于点 , …… 处,质量分别为 …, 由力学知识知道该质点系的质心坐标 为 , 其中 为该质点系的总质量 为该质点系对y轴的静矩。 为该质点系对x轴的静矩。 * 当薄片是均匀的,质心称为形心. 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 在 上连续,则该薄片 的质心: * 例1. 求位于两圆 和 薄片的重心. 解: 利用对称性可知 而 C。 之间均匀 * (四)、平面薄片的转动惯量 * 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 在 上连续,则该薄片 的对坐标轴的转到惯量: * 解 * * 解 * * 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 (五)、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 在 上连续,求该薄片 对位于z轴上的点 (0,0,a)处单位质量的质点的引力。 * 解 由积分区域的对称性知 * 所求引力为 * 1. 立体体积 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 二、三重积分的应用 * 例1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 说明: 当 时, 就得到球的体积 * 设物体占有空间区域 ? , 有连续密度函数 则其重心坐标为: 当 常数 时, 则得形心坐标: 物体的体积 2. 物体的重心 * 例2. 一个炼钢炉为旋转体形,它的 曲面方程为 若炉内储有高为 h 的均质钢液,且不计 炉体的自重,试求它的重心。 解:利用对称性可知重心在 z 轴上,故 h 则钢液体积 * 曲面方程为 钢液体积 * 3.物体的转动惯量 设物体占有空间区域? ,有连续分布的密度函数 类似于讨论物体重心的方法, 先用“大化小,常代变”得到 质点系对 z 轴 的转动惯量近似值: 令 ,就得到物体对 z 轴 的转动惯量 类似可得: * 例3. 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设所占域为 则 用球坐标 问题:如何用截面法和柱面坐标系计算三重积分? 实例 一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内,且可近似认为是圆轨道.通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同,即人们看到它在天空不动.若地球半径取为,问卫星距地面的高度应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大? 例1 求球面,含在圆柱体 内部的那部分面积. 由对称性知, : 曲面方程 , 于是 例2 求由曲面和 所围立体的表面积. 设平面上有 个质点,它们分别位于,,处,质量分别为.则该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为 , . 例1 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别 为、,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量. 设三角形的两直角边分别在 轴和轴上,如图 对轴的转动惯量为 同理:对轴的转动惯量为 先求形心 建立坐标系如图 因为矩形板均匀, 由对称性知形心坐标 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积. 设薄片所占的闭区域是介于两个圆之间的闭区域,求均匀薄片的重心. 设有一等腰直角三角形薄片,腰长为,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片的重心. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域由抛物线与直线所围成,求和. 五、求面密度为常量的匀质
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