《高等数学》电子课件（同济第六版）04第六章 习题课.ppt

* 微 元 法 理 论 依 据 名称释译 所求量 的特点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 一、主要内容 1、微元法的特点 2、微元法的步骤 3、定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 直角坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 (2) 体积 x y o 平行截面面积为已知的立体的体积 (3) 平面曲线的弧长 弧长 A．曲线弧为 弧长 B．曲线弧为 C．曲线弧为 弧长 (4) 细棒的质量 (6) 转动惯量 (7) 变力所作的功 (8) 水压力 (9) 引力 (10) 函数的平均值 (11) 均方根 1、试求由抛物线 和抛物线相切于纵坐标 处的切线以及 轴所围成的图形的面积。 二、典型例题 解：抛物线 如图6-1，取， 例2 解 由对称性,有 由对称性,有 由对称性,有 设半径为 的圆，其圆心在点 处 ， 求将此圆绕 轴旋转一周而成一环体的体积。 方法一 由题意圆的方程为 方法二 方法三 用平面截面为已知求体积， 方法四 环体的体积看作由曲边梯形ABCDE绕 轴旋转一周所得立体体积 与由曲边梯形ABFDE绕 轴转一周所得立体体积 之差得到， 如图6-12。 方法五 如图6-11，取半径为 圆的圆心绕 轴旋转时的弧长 为积分变量 例4 解 如图所示建立坐标系. 于是对半圆上任一点,有 故所求速度为 * （1）是与一个变量 的变化区间有关的量； （2）对于区间具有可加性，就是说，如果把区间分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而 等于所有部分量之和； （3）部分量的近似值可表示为； 就可以考虑用定积分来表达这个量. 1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如为 积分变量，并确定它的变化区间； 2）取典型区间，求出相应于这小区间的部分量的近似值．如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即； 3）以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得， 即为所求量． （其中和对应曲线起点与终点的参数值） 在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续. 其中在上具有连续导数 选择题： 曲线与直线，及所围成 的区域的面积（ ）； （A）； （B）； （C）； （D） . 2、曲线与所围图形公共部分 的面积（ ）； （A）； （B）； （C）； （D） . 3、曲线所围图形的面积 （ ） ； （A）； （B）； （C）； （D）. 4、由球面与旋转锥面之 间包含轴的部分的体积( )； （A）； （B）； （C）； （D） . 5、用一平面截半的球，设截得的部分球体高 为体，则（ ）； （A）； （B）； （C）； （D）. 6、曲线上点处的切线 与曲线所围图形的面积（ ）； （A） （B）； （C）； （D）. 7、抛物线自点至点 的一段曲线弧长=（ ）； (A)； (B)； (C)； (D) . 8、曲线，，旋转所得旋转体 的侧面积（ ）； （A）； （B）； （C）； （D）. 二、在区间内求，使 及所围成两块面积之和为最小 . 三 、设曲边梯形是由连续曲线 ， 与两直线所围成的，求证：存在 直线 将曲边梯形的面积平分 . 四、求摆线， 1、旋转一周所成曲面的面积 ； 2、旋转一周所成曲面的面积 . 五、有一旋转体，它由曲线，， 以及直线所围成的平面图形旋转而 成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴 的距离，求它的质量 . 六、以的流量往半的半球形水池内注水 求在水池中水深时水面上升的速 度； 2、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？ 一、 1、A； 2、D； 3、B； 4、D； 5、B； 6、D； 7、A； 8、A . 二、. 四、1、； 2、. 五、. 六、1、； 2、.