《高等数学》电子课件（同济第六版）9-23.ppt
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一、二重积分的换元法 二、小结 * 例1 解 例2 解 基本要求:变换后定限简便，求积容易． 思考题 思考题解答 * * *
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《高等数学》电子课件（同济第六版）9-6.ppt
一、含参变量积分的连续性 二、含参变量的函数的微分 三、莱布尼茨公式 四、小结 * 是变量 在 上的一个一元连续函数, 设函数 是在矩形 上的连续函数. 在 上任意确定 的一个值, 于是 从而积分 存在, 这个积分的值依赖于取 定的 值. 当 的值改变时,一般来说这个积分的值也 跟着改变. 这个积分确定一个定义在 上的 的函 数, 我们把它记作 即 定理1 如果函数 在矩形
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《高等数学》电子课件（同济第六版）高等数学下）总复习-4课时.ppt
增加上截面上侧及下截面下侧 。 原级数为条件收敛。 故原级数收敛 当 ，即 时，级数 收敛，于是原级数绝对收敛。 当 ，即 时，级数 发散，于是原级数条件收敛。 * 6.证明：函数 在点 连续、偏导数存在、但不可微. 所以在点 连续 所以在点 偏导数都存在 所以在点 不可微。 7.设
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《高等数学》电子课件（同济第六版）高等数学上）总复习.ppt
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 。 19、设函数 在 上连续，在 内可导，且 证明必存在 使 证明 因为 在 上连续， 所以 在 上连续， 上且有最大值 和最小值 。于是 所以 由介值定理知至少存在 使 因为 由罗尔定理存在 使 * 在 上连续，在 内可导，且 20．设 证明 存在 证明：只要证明 令 * 再对 在 用拉格朗日中值定理得 * * * * * * * * * * * * * * * *
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高等数学 同济第六版6-2.ppt
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 2. 直角坐标情形 3. 参数方程情形 4. 极坐标情形 四*、旋转体的侧面积 小 结 作业 P285: 4、8、10、16、20、23、26、28、30 1. 平面曲线弧长的概念 折线的长: 并称弧AB是可求长的. 弧长元素 弧长 定理 光滑曲线弧是可求长的. 解 所求弧长为 解 曲线弧为 弧长 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 证 根据椭圆的对称性知 故原结论成立. 曲线弧为 弧长 解 解 解 (1) 直角坐标 x y O a x y O a (2) 参数方程 t (3) 极坐标 x y o 例8
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高等数学-同济第六版.pptx
第七章常微分方程;解;解;代入条件后知;微分方程:
凡表示未知函数、未知函数导数或微分及自变量之间关系方程叫微分方程.;微分方程阶:微分方程中出现未知函数最
高阶导数阶数称之.;分类3:线性与非线性微分方程.;微分方程解:
代入微分方程能使方程成为恒等式函数称之.;(2)特解:确定了通解中任意常数以后解.;过定点积分曲线;;解;所求特解为;问题1：是否全部微分方程都存在通解？;问题2：微分方程通解是否包含它全部解？;微分方程；;思索题;思索题解答;练习题;第19页;练习题答案;作业
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高等数学(同济第六版)D.pptx
四、二次曲面第三节一、曲面方程概念二、旋转曲面三、柱面曲面及其方程第八章第1页
定义1.假如曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上任意点坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0图形.(2)不在曲面S上点坐标不满足此方程,一、曲面方程概念第2页
故所求方程为例1.求动点到定点方程.尤其,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R轨迹表示上(下)球面.第3页
定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成曲面叫做旋转曲面.旋转曲线和定直线称为旋转曲面母线和旋转轴.第4页
其余依这类推.第5页
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《高等数学》电子课件（同济第六版）01第六章 第1节 定积分的元素法.ppt
一、问题的提出 二、小结 * 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 求曲边梯形面积的步骤： a b x y o 元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） *
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《高等数学》电子课件（同济第六版）04第六章 习题课.ppt
* 微 元 法 理 论 依 据 名称释译 所求量 的特点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 一、主要内容 1、微元法的特点 2、微元法的步骤 3、定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 直角坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 (2) 体积 x y o 平行截面面积为已知的立体的体积 (3) 平面曲线的弧长 弧长 A．曲线弧为 弧长 B．曲线弧为 C．曲线弧为 弧长 (4) 细棒的质量 (6) 转动惯量 (7) 变力所作的功 (8) 水压力 (9) 引力 (10) 函数的平均值 (11) 均方根 1、试求
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《高等数学》电子课件（同济第六版）01第三章 第1节 中值定理.ppt
* 思考题解答 不满足在闭区间上连续的条件； 且 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题. * 练 习 题 * * * 练习题答案 * * * * * 一、罗尔(Rolle)定理 例如, * 点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 几何解释: * 证 * 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例如, * 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, * * 设 在[0, ]上连续,在(0, )内可导,证明至少存在一点ξ∈(0, ),使得 = 证明:
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《高等数学》电子课件（同济第六版）02第九章 第2节 偏导数.ppt
* * 练习题答案 * * * 一、偏导数的定义及其计算法 * 定义 * * * * * * (3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 * * 解 * 证 原结论成立． * 解 * 不存在． * 证 * 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 * ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， * * 4、偏导数的
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《高等数学》电子课件（同济第六版）02第三章 第2节 洛必达法则.ppt
* 定义 例如, * 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. * 例1 解 例2 解 * 例3 解 例4 解 * 例5 解 * 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 * 例7 解 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 步骤: * 例8 解 步骤: * 步骤: 例9 解 * 例10 解 例11 解 * 例12 解 极限不存在 洛必达法则失效。 注意：洛必达法则的使用条件． * * * * * 三、小结 洛必达法则 * * 思考题 * 思考题解
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《高等数学》电子课件（同济第六版）01第一章 第1节 函数.ppt
* 4.三角函数 正弦函数 * 余弦函数 * 正切函数 * 余切函数 * 正割函数 * 余割函数 * 5.反三角函数 * * * 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. * 七、复合函数 初等函数 1.复合函数 定义: * 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. * 例1. 求 的反函数及其定义域. 解 * 反函数 定义域为 反
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《高等数学》电子课件（同济第六版）07第三章 第7节 曲率.ppt
* 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、小结 * * 一、弧微分 规定： ? ? * 单调增函数 如图， ? ? 弧微分公式 * 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 ) ) （１）当弧长相同时，转角越大曲线弯曲程度越大。 （２）转角相同时弧段越短弯曲程度越大 1.曲率的定义 ) * ) y x o （ 设曲线C是光滑的， （ 定义 曲线C在点M处的曲率 * 注意(1)直线的曲率处处为零。 如图所示 , 有 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 ; (2) 圆上各点处的曲率等于半径
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《高等数学》电子课件（同济第六版）07第一章 第7节 无穷小的比较.ppt
* 一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换 三、小结及作业 * 一、无穷小的比较 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 * 定义: * * 例1 解 例2 解 * 常用等价无穷小: * * 二、等价无穷小替换 定理(等价无穷小替换定理) 证 * 例3 解 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换. 注意 * 例4 解 解 错 * * * 三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小;
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《高等数学》电子课件（同济第六版）08第一章 第8节 函数的连续与间断.ppt
* * 练习题答案 * * 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结及作业 * 一、函数的连续性 1.函数的增量 * 2.连续的定义 * * * 例1 证 由定义2知 * 3.左右连续 定理 * 例2 解 右连续但不左连续 , * 右连续且左连续 , * 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, * 例4 证 * 例4 解 * 二、函数的间断点 * * 1.跳跃间断点 例4 解 * 2.可去间断点 例5 * 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,