《高等数学》电子课件（同济第六版）05第十章 习题课.ppt

* 例2. 计算 其中D由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 在 在 上 上 * 例3. 计算二重积分 其中 (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性 围成 . * (2) 积分域如图 将D 分为 添加辅助线 例3. 计算二重积分 (2) D由直线 围成. 其中 利用对称性 , 有 * 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． * 解 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数, * 解 * * * 例6 解 利用球面坐标 * 例7 证 * 例8. 设 在 上连续 , 证明 证: 左端 = 右端 * 求均匀球体 （体密度为1）绕 轴的转动惯量。 方法1： 方法2：（先二后一） * 例10. 设 存在,求 其中: 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则,得 * 用四种方法计算， 其中 为 在第一卦限的部分 解：方法1：(用直角坐标计算） * 方法2：（用柱坐标计算） 方法3：（用球坐标计算） * 方法4：（用“先二后一”计算） * 测 验 题 * * * * * * * * 测验题答案 * 第十章 习题课 * * 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三重积分 一、主要内容 * 1、二重积分的定义 * ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． * 性质１ 当 为常数时， 性质２ ３、二重积分的性质 * 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积 性质５ 若在D上， 特殊地 * 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） * ４、二重积分的计算 ［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下　 * Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. ［Y－型］ * （２）极坐标系下　 * * 5、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积 * 当薄片是均匀的，重心称为形心. (3) 重心 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ， 在 上连续，则该薄片 的质心： * 薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 (4) 转动惯量 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ， 在 上连续，则该薄片 的对坐标轴的转到惯量： * (5) 引力 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 设有一平面薄片占有 平上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ， 在 上连续，求该薄片 对位于z轴上的点 （0,0,a）处单位质量的质点的引力。 * 6、三重积分的定义 * 7、三重积分的几何意义 8、三重积分的性质 类似于二重积分的性质． * 9、三重积分的计算 (１) 直角坐标 (2) 截面法 * (2) 柱面坐标 * (4) 球面坐标 * 10、三重积分的应用 (１) 重心 * 设物体占有空间区域 ? , 有连续密度函数 则其重心坐标为: 当 常数 时, 则得形心坐标： 物体的体积 (２) 转动惯量 * 设物体占有空间区域? ,有连续分布的密度函数 质点系对坐标 轴 的转动惯量: * 二、典型例题 例1 解 X-型 * 例2 解 先去掉绝对值符号，如图 * * 解：用极坐标计算，（如图） * 例5 解 * 例6 解 * 例7 其中?是由 xoy 平面 上曲线 所围成的闭区域。 提示： 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 计算三重积分 * 运用对称性时，必须兼顾被积函数与积分区域两个方面。两个方面的对称性要相匹配，才能利用 1．若 关于 轴对称，对 ，则有 (1) 当 时， (2) 当 时， 2．若 关于 轴对称，对 ，则有 (1) 当 时，