第十一章 常数项级数审敛法.ppt

* 常数项级数审敛法 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题 2.正项级数收敛的充要条件: 部分和数列 为单调增加数列. 定理 3.比较审敛法 证明 即部分和数列有界 不是有界数列 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数. 解 由图可知 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法 证明 4.比较审敛法的极限形式: 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 解 原级数发散. 故原级数收敛. 证明 收敛 发散 比值审敛法的优点: 不必找参考级数.直接从级数本身的构成——即通项来判定其敛散性 两点注意: 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 例5 解 由于 不存在，检比法失效 而 对 由检比法得 收敛 故由比较审敛法知 收敛 例6 解 由检比法得 级数收敛 级数发散 检比法失效，但 即后项大于前项 故级数发散 证明 取 则 由 知 由 收敛及比较审敛法得 收敛 收敛 由 知 故 不趋于 0 发散 不能判定 如 都有 但 收敛 发散 级数收敛. 二、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 解 原级数收敛. 证明 un 单调减的方法 ？ ？ ？ *