第十一章--无穷级数.doc

第十一章 无穷级数 基本内容 ? (一)数项级数 ? 1.数项级数的定义 设数列则称是数项级数，其中称为一般项．记 称之为级数的前n项的部分和。称为级数的部分和序列． 若，则称收敛于和S，且记为；若不存在，则称级数发散，的和不存在． 2.级数收敛的必要条件 若级数收敛，则；这意味着若 ，则必发散． 3.级数的性质 设k是非零常数，, (1) (2) (3)在级数前面添（减）有限项，不改变级数的敛散性． (4)收敛级数加括号后仍收敛． *4.柯西收敛定理 收敛的充分必要条件是：对任意，存在N ，当nN 时，对任意的自然数p都有成立． （二）数项级数的收敛法 1.正项级数的定义 若级数满足，则称为正项级数．显然，正 级数收敛的充分必要条件是正项级数的部分和数列有上界． 2.正项级数的收敛法 (1)比较判别法 ①若正项级数,满足条件 则有如下结论： (ⅰ)若级数收敛，则级数也收敛． (ⅱ)若级数发散，则级数必发散（此内容可简记为：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散）． ②正项级数, 若成立 () 则级数与的敛散性一致． ③极限判别法：正项级数，常数则 (ⅰ)若则发散． (ⅱ)若存在，则收敛． 在使用比较判别法时，下列三个级数经常被选为比较级数. ，当时收敛；时发散． ，当时收敛；时发散． ，当时收敛；时发散． (2)比值判别法 正项级数且则 ①时，级数收敛． ②时，级数发散． ③时，无法判断． (3)根值判别法 正项级数且则 ①时，级数收敛． ②时，级数发散． ③时，无法判断． (4)积分判别法 设函数在区间上连续，且非负单减，则级数与广义积分的敛散性一致． 3.交错级数及收敛法 (1)对任意级数若收敛，则级数必收敛，称为绝对收敛；若发散，而收敛，则称级数条件收敛． (2)交错级数 若则称级数或为交错级数． 若交错级数满足条件 ① ② 则交错级数收敛． （三）幂级数 1.幂级数的相关定义 函数项级数对区间I上的函数列 称是函数项无穷级数． 当时，数项级数收敛，则称时函数项级数的收敛点；若发散，则称是级数的发散点。 函数项级数的收敛点的全体称为收敛域． 2.幂级数 称如下形状的函数项级数： 和为幂级数． 我们知道，幂级数存在一个收敛半径当时， 绝对收敛,当时，发散．的计算公式为： 3.幂级数的运算 (1)设 则当时， (2)设则在上连续． (3)设则成立下述结论： (ⅰ) (ⅱ) （四）函数展成幂级数 1.函数的直接展开法 (1)函数的泰勒展开 设在区间内具有任意阶导数，且 则 (2)函数的麦克劳林级数展开 设在区间内具有任意阶导数，且 则 2.函数间接展开 将一些已知的函数展开，通过求导，积分可得到其它一些函数的展开，这种方法称为间接展开法．常用的幂级数有： （五）函数的幂级数展开的应用 我们可通过函数的幂级数展开，将复杂的函数由一个多项式函数和一个余项来表示，然后进行数值上的近似计算． （六）傅立叶级数 1.??? 三角级数、三角函数系的正交性 称是三角级数． 三角函数系 在区间上正交，即其中任何两个不同的函数之积在区间上的积分是零． 2.??? 周期为函数展开成傅立叶级数 (1)设是周期为的周期函数，当 时，称是的傅立叶级数． (2)收敛定理 设是周期为的函数，若它满足条件：在一个周期内连续或只有 限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的傅立叶级数收敛，并且 当是的连续点时，级数收敛于； 当是的间断点时，级数收敛于． (3)函数的延拓 设的定义域是满足收敛定理要求的条件，则可 以根据构造出周期为的函数．当时，． 当时，有 （七）正弦级数，余弦级数 1.正弦级数，余弦级数 定理 周期为的奇函数可展开成只含有正弦项的傅立叶级数，称 为正弦级数 周期为的偶函数可展开成只含有余弦项的傅立叶级数，称为余弦级数． 2.函数的奇延拓、偶延拓 设的定义域是，且满足收敛定理的条件，则可通过在区间上构造出满足要求的函数可以是奇函数，也可是偶函数，然后应用上节延拓的思想，将变成，，则在上，，因此可以得到在上的傅立叶级数．此级数要么是正弦级数，要么是余弦级数． （八）周期为的周期函数的傅立叶级数 1.周期为的的傅立叶级数 若函数周期为，且满足收敛定理的条件，则其傅立 级数为 其中 2.定义在的函数的傅立叶级数 将作为一个周期，延拓为周期为的函数，则可得出在上的傅立叶级数． 3.定义在上的函数的傅立叶级数 作变换将， 变换为 然后延拓，展开，求出的傅立叶级数.代入反变换，即可求得的傅立叶级数． 练习题 ? 11.1判断下列数项级数是否收敛： （1）． 解 ； ， ． 故发散．