《高等数学》电子课件（自编教材）第十章 第3节 格林公式及应用.ppt

* 。 。 或 * 故积分路径可取圆弧 例4. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的 功W. ( 其中 ) 解: 令 则有 ?曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关, 思考：积分路径是否可以取 为什么？ * 设函数 平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分 与路径无关，并且对任意t恒有 解：由积分与路径无关的条件知 * 两边对t求导得 * 两边对t求导得 * 2. 设 求 提示: * 　　　　　小结 1.连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系 3. 格林公式的应用. ——格林公式; * 4、等价条件 在 D 内与路径无关 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线L 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则有 * 1、若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。 练习与思考题 解答： 由两部分组成 外边界： 内边界： * * 2、计算 积分路径沿着圆周 的正向。 解法：应用格林公式 * * 3、 2009年考研 计算曲线积分 是曲线 解 取辅助线 由格林公式 其中L 上从点 到点 的一段。 * * 4、 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用, * * 第三节 格林公式及其应用 一、几个概念 二、格林公式 三、平面曲线积分与路径无关的定义 四. 平面曲线积分与路径无关等价条件 * 一、几个概念 1、设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 单连通区域是无“洞”区域 复连通区域是有“洞”区域 * 2、边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. * 二、格林公式 定理1 * 证明 y x o a b D c d A B C E * 同理可证 两式相加得 y x o D c d A B C E * 三、简单应用 1. 简化曲线积分 所以由格林公式 * 例2. 计算 其中L为上半圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 , 它与L 所围区域为D , 则 原式 * x y o A B ? * x y o A B * 解 * * * 2. 简化二重积分 x y o * x y o * 3. 计算平面面积 * 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆 所围面积 * 解 * * G y x o 三、曲线积分与路径无关的定义 B A 如果在区域G内 * 四、 平面曲线积分与路径无关等价条件 定理2. 设D是单连通开区域 , 在D 内具有一阶连续偏导数 , (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 (3) (4) 在D内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分, 即 * (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. 证明 (1) (2) 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则 * (3) 在D内是某一函数 的全微分, 即 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. 证明 (2) (3) 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 。 。 。 和任一点B( x , y ) , 与路径无关 , 设 * (3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (4) 在D内每一点都有 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 从而在D内每一点都有 * (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (4) 在D内每一点都有 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 (如图 ), 因此在 上 利用格林公式 , 得 证明 (4)