《高等数学》电子课件（自编教材）第十章 第6节 高斯公式.ppt

高斯 ( Gauss ) 公式1 * 一. 高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面 ? 所围成 , ? 的方向取外侧 , 在 ?上具有连续的一阶偏导数 , 则有公式 高斯 ( Gauss ) 公式 只证 函数 P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z ) * 证明: 设 XY?型区域 又 所以 * 类似可证 三式相加，即得所证Gauss公式： 若?不是XY–型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干 个XY–型区域， 在辅助面正反两侧曲面积分正负抵消 , 故仍有 * Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 由两类曲面积分之间的关系知 高斯 ( Gauss ) 公式5 * 二、简单的应用 解 * (利用柱面坐标得) 高斯 ( Gauss ) 公式7 * 使用Guass公式时应注意: 高斯 ( Gauss ) 公式8 * 高斯 ( Gauss ) 公式9 * 高斯 ( Gauss ) 公式10 * 高斯 ( Gauss ) 公式11 * 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 高斯 ( Gauss ) 公式12 * 高斯 ( Gauss ) 公式13 * 故所求积分为 高斯 ( Gauss ) 公式14 * 高斯 ( Gauss ) 公式15 * 三、通量与散度 高斯 ( Gauss ) 公式18 * 1、通量的定义 * 2. 散度的定义: 高斯 ( Gauss ) 公式20 * 散度在直角坐标系下的形式 积分中值定理, 两边取极限, 高斯 ( Gauss ) 公式21 * 高斯 ( Gauss ) 公式22 * 四、小结 （1）应用的条件 （2）物理意义 2、高斯公式的实质 1、高斯公式 * 思考与练习 1. 设 ? 为球面 的外侧, ? 为 ? 所围立 体, 判断下列演算是否正确 ? (1) (2) * * 2、 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 * * 在闭区域 ?上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 3、设函数 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析: 高斯公式 * * 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式.(见 P171) * * 4、设 ? 是一光滑闭曲面, 所围立体 ? 的体 ? 是 ? 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 试证 证: 设 ? 的单位外法向量为 则 的夹角, 积为V, 计算曲面积分 其中Σ为柱面及平 面所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. 1.是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧. Σ是速度场中的一片有向曲面, 单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量. 设有向量场 沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为 称为向量场向正侧穿过曲面Σ的通量. 设有向量场,在场内作包围点 的闭曲面 ,包围的区域为 ,记体积为 .若 当 收缩成点 时, 极限存在, 则称此极限值为 在点 处的散度, 记为. =