《高等数学》电子课件（自编教材）第十章 第4节 对面积的曲面积分.ppt

* 第四节 对面积的曲面积分 求质量 m . 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 采用“分割, 近似, 求和, 取极限” 的方法， 可得 一. 对面积的曲面积分的概念与性质 * 定义: 设 ? 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 ?上的一个 有界函数, 若对 ? 做任意分割和局部区域上任意取点, “乘积和式极限” 都存在,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ?上对面积的 曲面积分或第一类曲面积分. 记作 其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, ? 叫做积分曲面. 据此定义,曲面形构件的质量为 曲面面积为 * ? 如果 f (x, y, z) 在光滑曲面 ? 上连续, 则对面积的曲面 积分存在. ? 如果 ? 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面 则有 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质. ? （k 为常数) ? * 定理: 设光滑曲面 ? 由方程 z = z (x, y) ? 在 xoy 面上的投影区域为 f (x, y, z) 在 ? 上连续 , 存在, 且有 二. 对面积的曲面积分的计算法 给出 , 则曲面积分 证明: 由定义知 而 * * 计算公式: 则 * 则 则 * 例1 解 * * 解 依对称性知： * * * 例3 解 * * 例4. 计算 其中 ? 是介于平面 之间的圆柱面 解: 将 分成 、 * 例4. 计算 其中 ? 是介于平面 之间的圆柱面 另解: 取曲面面积元素 则 * 例6. 计算 其中 ? 是球面 解: 利用对称性可知 利用重心公式 球心： 半径： * 四、小结 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算. 1、 对面积的曲面积分的概念; （按照曲面的不同情况分为三种） * 练习与思考题 1、 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义. 解答： 是曲面元的面积, 故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数. * * 2、设 一卦限中的部分, 则有( ). ( 2000 考研 ) * * 3、设 ? 是四面体 面, 计算 * 4、设均匀抛物面壳 其面密度为 解： 计算, 其中为平面被柱面所截得的部分. 积分曲面 ： , 投影域 ： 例2 计算, 其中 为抛物面 （）. 有成立， (为第一卦限部分曲面) 被积函数关于 、 坐标面对称 原式 其中, 计算, 其中 为内接于球面的八面体表面. 被积函数, 关于坐标面、原点均对称 , 积分曲面也具有对称性 , 故原积分, (其中表示第一卦限部分曲面) ：, 即