《高等数学》电子课件（自编教材）第十章 第1节 对弧长的曲线积分.ppt

* 一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 * 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 * 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 * 2.存在条件： 3.推广 * 注意： * 4.性质 * 三、对弧长曲线积分的计算 定理 * 说明: * 注意: 特殊情形 * * 推广: * 例1 解 * 例2. 计算 其中L是抛物线 B(1,1) 之间的一段弧 . 解: B(1,1) 上点O(0,0)与 * 例3 第四象限部分，如图 解法１：因为L方程 * 解法２ 因为L参数方程为 * 例4. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性, 得 * * 例6.计算曲线积分 其中?为螺旋线 的一段弧 . 解: * 例7. 计算 其中 解: * 例8. 计算 其中?为球面 被 平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 * 思考 利用对称性 * 四、几何与物理意义 * * 例9.计算半径为R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对称 轴的转动惯量 I (设线密度 ). 解: 建立坐标系如图,则 * 内容小结 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 ? 的长度) * 3. 计算 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 * 练习与思考题 1、对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？ 解答： 的符号永远为正，它表示弧段的长度. * * 2、 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 * * 3、已知曲杆方程为 其上各点的 密度 求 1、曲杆的长 S . 2、质量 M . 3、质心 4、曲杆的转动惯量 解： * * 4、设均匀螺旋形弹簧L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 (2) 求它的形心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (2) L的长度 由对称性 (1) 故形心坐标为