高等数学第十章曲线积分与曲面积分教案.doc

曲线积分与曲面积分

第一节对弧长的曲线积分

10.1.1第一类曲线积分

公式：=

应用前提:

1.曲线L光滑,方程可以写成为:

2.函数在L上有定义，且连续。

公式变形：假设L为平面曲线，L方程为，那么公式可以写成为：

常用计算法：

１．对于曲线L可以写成为参数形式的，可直接套用公式．

２．对于平面曲线，可以用公式的变形．

３．计算中，根据图形特点，直接将ds化为dx,dy或dz．

如：,其中：ds=P(x,y,z)dx,x

4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。〔注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否那么，公式中的将有无意义的点．

公式推导及证明

推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质．

分割：在Ｌ上插入n个分割点，令，〔〕；

记d＝max〔〕，为［］上的弧长，为［］上任意一点．

求和：利用积分定义，

由弧长公式：

由中值定理：

其中是由中值定理确定的［］上的一点，；

于是：

利用,,,的连续性，有：

于是：

右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义

取极限：得公式：

10.1.2第二类曲线积分

问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ．

公式的推导

分割：将ＡＢ曲线分为小弧段，，．．．，．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ．于是上作功，〔其中，是线段与的夹角〕

设，，是在x,y,z三轴正方向的投影．

那么：

做和：

10.1.3两类曲线积分的联系

设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t与三正向坐标系的夹角.于是

,,,据二类曲线计算公式:

;

由一类曲线推导得:

由曲线方程对称性的公式如下:

对于平面时,公式可化为:

平面上,设n为法方向,t为切向,那么cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)

于是:

第二节第一类曲面积分

思想:与曲线积分类似,只不过分割的是平面.曲线积分中一切线段代替曲线段,

这里以微小切平面代替曲面.接下来是求和,取极限.

公式:其中z=f(x,y)为曲面方程.也可写成

,其中为法线与z轴夹角.

假设s为参数形式x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)由于

,

(其中

所以公式可化为

假设记,,

那么公式亦可写为:.

计算方法:

1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成

z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出与后.s

由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始

公式.

2.化方程为参数方程.计算A,B,C或E,F,G利用推倒公式

求积分.

3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部

分即可.这样做可大大降地计算量.

公式推广:

第一式中z=f(x,y).第二式E,F,G定义同上.

第三节第二类区面积分

同第二类曲线积分的推导及形式,相类似的有积分形式为:

下面求第二类曲面的计算公式:与上述推导类似,分割,做和,与I

相比拟,有

对于正负号的取舍,适当uv平面的正向与曲面s选定一侧相

关的正向相互对应时取正号,否那么取负.

因为第二类区面积分计算可利用上述公式将

分别计算,然后求和.

第四节两类曲面积分的联系

对于微小面有(由中值定理得其存在性).作和

,由于.

取极限:,

其中为微小元的直径的最大值.因为,

于是得

由方程对称性得到联系方程

(为法线与x,y,z轴的夹角)

第五节各种积分间的联系

三大公式:

10.5.1格林(Green)公式:

,

其中:l为光滑曲线,D为平面单连通区域,l为D的边界.P,Q在D及l上连续,并且有对x,y的连续偏导,右侧积分取区域正向,即延正向前进,区域在左边.

10.5.2高斯(Gauss)公式:

其中:s为光滑曲面.V为空间单连通区域,s为V的边界.P,Q,R在V及s上对x,y,z有连续偏导数,N为s外法线方向,最后的积分是延区面s的外侧.

10.5.3?斯托克斯(Stokes)公式:

其中:l为光滑曲线s为光滑曲面.L为s的边界.P,Q,R在s及l上对x,y,z有连续偏导数,曲线积分方向与曲面的侧依右手定那么联系.