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《高等数学》电子课件(自编教材)第十章 第2节 对坐标的曲线积分.ppt

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* * 2、设曲线C为曲面 与曲面 从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分 解: (1) * * (2) 令 利用“偶倍奇零” * 一、问题的提出 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割 * 求和 取极限 近似值 精确值 * 二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 * 类似地定义 * 2.存在条件: 3.组合形式 * * 6.推广 * 7.性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. * 三、对坐标的曲线积分的计算 定理 * 特殊情形 * * 例1 解 * * 例2 解 * 例2 解(2) 解(3) * * 例3 解 * 由此知:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同,积分结果也可以不同. * 方程为 * 例5. 设在力场 作用下, 质点由 沿?移动到 , 其中?为 解:(1) (2) 设 ? 的参数方程为 试求力场对质点所作的功. * 例6. 求 其中 从 z 轴正向看去为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 * 三. 两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 则两类曲线积分有如下联系 * 类似地 , 在空间曲线 ? 上的两类曲线积分的联系是 令 * * 例8. 设 s 是曲线段 L 的长度 , 在 L 上连续, 证明 证: * , 为圆周 (按逆时针方向饶行); 练习 答案 * 1. 定义 2. 性质 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) L- 表示 L 的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! 内容小结 * 3. 计算 ? 对有向光滑弧 ? 对有向光滑弧 * 4. 两类曲线积分的联系 ? 对空间有向光滑弧? : * 练习与思考题 解答: 曲线方向由参数的变化方向而定. 1、 当曲线的参数方程与参数的变化范围给定之后(例如:,,,是正常数),试问如何表示的方向(如表示为顺时针方向、逆时针方向)? 例如:,,中 当从0变到时,取逆时针方向; 反之当从变到0时,取顺时针方向.
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