《高等数学》电子课件（自编教材）03第三章 第3节 泰勒公式.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * 练习与思考题 1、利用泰勒公式求极限 * 解： * 由题设对 取 且 2、 证： * * 下式减上式 , 得 令 * 一、问题的提出 用多项式近似表示函数的作用 理论分析 近似计算 一. 泰勒公式的建立 令 以直代曲 特点: 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? * * 不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. * 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 * 则 故 * 三、泰勒(Taylor)中值定理 * * 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 * * 注意: * 麦克劳林(Maclaurin)公式 * 四. 几个初等函数的麦克劳林公式 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 类似可得 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 类似可得 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 三. 泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 包含在 的某区间上的上界. * 例2. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 * 解 2. 利用泰勒公式求极限 用洛必塔法则不方便 ! * 例4 解: 用泰勒公式将分子展到 项 , 由于 原式 * 3. 利用泰勒公式证明不等式 * * 例6 证明 证: * 五、小结 * 五、小结 * 五、小结 * 五、小结 * 五、小结 * 五、小结 * 播放