《高等数学》电子课件（自编教材）05第三章 第5节 函数的极值与最值.ppt

* 所以F(x)在[0，1] 上最大值为 1。 * * 四、小结 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) * 注意最值与极值的区别. 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. * 练习与思考题 解答 结论不成立. 因为最值点不一定是内点. 例 在 有最小值，但 * * 2、设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . * 3、设 在 的某邻域内连续, 且 则在点 处 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . * 4、 设 是方程 的一个解, 若 且 则 在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: A * * 5、把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 . * * 一、函数极值及求法 二、最值的求法 三、应用举例 四、小结 * 一、函数极值及求法 * 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. * * 定理1(必要条件) * 定理表明： 例如, * 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) * 求极值的步骤: (不是极值点情形) * 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 * 图形如下 * 例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 导数不存在的点 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 * 定理3(第二充分条件) 证 * 例3 解 图形如下 * 注意: * * * * 设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且： 解： 所以不论 ，还是 均有 * * 二、最值的求法 * 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) * 三、应用举例 例1 解 计算 * 比较得 * 点击图片任意处播放\暂停 例2 　　敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？ * 解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点 * 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; * 例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 * （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为 * 点击图片任意处播放\暂停 例4 * 解 如图, * 解得 * 设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定. (1)如果有而, 有，则在处取得极大值. (2)如果有而 有，则在处取得极小值. (3)如果当及时, 符号相同,则在处无极值. 设在处具有二阶导数, 且, ,那末 (1)当时, 函数在 处取得极大值; (2)当时, 函数在 处取得极小值. 所以,函数在处取得极大值 1、 若是在上的最大值或最小值，且存在，是否一定有？