《高等数学》电子课件（同济第六版）05第三章 第5节 函数的极值与最值.ppt

* 所以F(x)在[0，1] 上最大值为 1。 * * 四、小结 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) * 注意最值与极值的区别. 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. * * 思考题 * 思考题解答 结论不成立. 因为最值点不一定是内点. 例 在 有最小值，但 * 练 习 题 * * * 练习题答案 * 思考题 下命题正确吗？ * 思考题解答 不正确． 例 * 在–1和1之间振荡 故命题不成立． * 练 习 题 * * 练习题答案 * * 一、函数极值及求法 二、最值的求法 三、应用举例 四、小结及作业 * 一、函数极值及求法 * 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. * * 定理1(必要条件) * 定理表明： 例如, * 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) * 求极值的步骤: (不是极值点情形) * 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 * 图形如下 * 例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 导数不存在的点 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 * 定理3(第二充分条件) 证 * 例3 解 图形如下 * 注意: * * * * 设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且： 解： 所以不论 ，还是 均有 * * 二、最值的求法 * 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) * 三、应用举例 例1 解 计算 * 比较得 * 点击图片任意处播放\暂停 例2 　　敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？ * 解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点 * 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; * 例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 * （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为 * 点击图片任意处播放\暂停 例4 * 解 如图, * 解得 * 设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定. (1)如果有而, 有，则在处取得极大值. (2)如果有而 有，则在处取得极小值. (3)如果当及时, 符号相同,则在处无极值. 设在处具有二阶导数, 且, ,那末 (1)当时, 函数在 处取得极大值; (2)当时, 函数在 处取得极小值. 所以,函数在处取得极大值 若是在上的最大值或最小值，且存在，是否一定有？ 填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 ()的最大值为____ _____；最小值为__________. 函数在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力的作用而开始移动，摩擦系数=0.25，问力与水平线的交角为_____时，才可使力的大小为最小，则此问题的目标函数为______________，讨论区间为_____________. 从一块半径为的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为_________时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为________________考察区间为_______________. 求函数()的最值 . 求数列的最大项 . 要造一圆柱形油灌，体积为，问底半径和高 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与 高的比是多少？ 五、由, , ()围成一曲边三角形 ，在曲线弧上求一点，使得过此点所作曲 线的切线与，围成的三角形面积最大. 一、1、区间端点及极值点； 2、最大值, 最小值； 3、10,6； 4、； 5、, . 二、时函数有最小值27. 三、14.