《高等数学》电子课件（同济第六版）04第三章 第4节 函数单调性与曲线的凹凸性.ppt

* 思考题 * 思考题解答 不能断定. 例 但 * 当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． * 练 习 题 * * 练习题答案 * * 一、单调性的判别法 三、小结及作业 * 一、单调性的判别法 定理 * 证 应用拉氏定理,得 * * 例2 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． * （2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是的 点及导数不存在的点． * ） （4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, （3）讨论函数单调性的步骤： 1）确定函数的定义域； 2）求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点； 3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论。 * 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 例3 确定函数 * 例4 解 单调区间为 * 例5 证 * 证明： 因此， 单调减少, f(x) 单调减少 也就是 * * 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 * 1. 曲线的凹凸与拐点的定义 定义 1. 设函数 在区间 上连续 , (1) 若恒有 则称 的图形 是凹的; (2) 若恒有 则称 的图形 函数图形上凹凸的分界点称为拐点 . 是凸的 . * 2、曲线凹凸的判定 定理1 * 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 * 例1.判断曲线 的凹凸性. 解: 当 时 时 故曲线 在 上是向上凹的. 说明 (1) 在个别二阶导数为 0 的点, 若此点两侧二阶导数不变号, 则不改变曲线的凹凸性 . * 例2 解 注意到, * 例3.求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . * （c）检查在这些点左右两边的符号，从而决定曲线 的凹凸区间及拐点。 （3）判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤： （a）求出 ； （b）求出使 的点及 不存在的点； * 例4.求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求函数二阶导为零的点 令 得 对应 3) 列表判别 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 故该曲线在 上凸 * 证明： * * 三、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1, 2. * 1,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(1,3), 9(1,3,6),10(1,2),13,14 * 思考题 * 思考题解答 例 * 练 习 题 * * 练习题答案 * 设在内二阶可导，且，其中，则是否一定为曲线的拐点？举例说明. 因为只是为拐点 的必要条件， 故不一定是拐点. 但并不是曲线的拐点. 填空题： 若函数在（）可导，则曲线在()内取凹的充要条件是____________. 曲线上____________的点，称作曲线的拐点 . 曲线的拐点为__________. 曲线拐点为_______. 求曲线的拐点及凹凸区间 . 利用函数图形的凹凸性，证明不等式： . 四、求曲线的拐点 . 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上 . 问及为何值时，点(1,3)为曲线的拐点？ 试决定中的值,使曲线的拐点处的法线通过原点 . 一、1、内递增或； 2、凹凸部分的分界点； 3、； 4、. 二、拐点,在内是凹的, 在内是凸的. 四、拐点及. 五、 六、. 七、 . 若，是否能断定在原点的充分小的邻域内单调递增？ 填空题： 函数单调区间为________ _____________. 函数在区间[-1,1]上单调________， 在_________上单调减. 3、函数的单调区间为____________， 单减区间为_____________. 确定下列函数的单调区间： ； ()； . 证明下列不等式： 当时，； 当时，； 若，则. 方程有几个实根. 设在[]上连续，在()内,试证 明：对于[