《高等数学》电子课件（同济第六版）03第三章 第3节 泰勒公式.ppt

* 五、小结 * 五、小结 * 五、小结 * 五、小结 * 五、小结 * * * * * * * * * * * * * * * * * 一、问题的提出 用多项式近似表示函数的作用 理论分析 近似计算 一. 泰勒公式的建立 令 以直代曲 特点: 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? * * 不足: 问题: 1、精确度不高； 2、误差不能估计. * 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 * 则 故 * 三、泰勒(Taylor)中值定理 * * 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 * * 注意: * 麦克劳林(Maclaurin)公式 * 四. 几个初等函数的麦克劳林公式 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 类似可得 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 因 故 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 类似可得 的 n 阶麦克劳林公式为 其中 * 三. 泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 包含在 的某区间上的上界. * 例2. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 * 解 2. 利用泰勒公式求极限 用洛必塔法则不方便 ! * 例4 解: 用泰勒公式将分子展到 项 , 由于 原式 * 3. 利用泰勒公式证明不等式 * * 例6 证明 证: * 五、小结 * * 播放 * 思考题 利用泰勒公式求极限 * 思考题解答 * 练 习 题 * 练习题答案 例如, 当很小时, , 设函数在含有的开区间内具有直到 阶导数,能否找一个n次的多项式： 二、的确定 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和: 其中(在与之间). 记 称为按的幂展开的n次近似多项式 称为按的幂展开的n阶泰勒公式 当时,泰勒公式变成拉氏中值公式 2.取, 在与之间,令 则余项 例3 计算 . 1.Taylor公式在近似计算中的应用; 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 当时，求函数的阶泰勒公式 . 求函数的阶麦格劳林公式 . 验证时，按公式计算的近似值，可产生的误差小于0.01，并求的近似值，使误差小于0.01 . 应用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差. 利用泰勒公式求极限： 1、 ； 2、. 一、 . 二、 . 三、. 四、. 五、1、. 2、. 1.Taylor公式在近似计算中的应用; 1.Taylor公式在近似计算中的应用; 1.Taylor公式在近似计算中的应用; 1.Taylor公式在近似计算中的应用; 1.Taylor公式在近似计算中的应用; 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近. 2.Taylor公式的数学思想---局部逼近.