《高等数学》电子课件（同济第六版）05第九章 第5节 隐函数的求导公式.ppt

* * 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 * * 解 令 则 * * 解 令 则 * * * * 解 令 则 * * 思路： 解 令 则 * 整理得 * 整理得 整理得 * 二、方程组的情形 * * 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 求导并移项 * 将所给方程的两边对 求导，用同样方法得 * 11．设 ，而 是由方程 所确定的 的函数，其中 都具有连续偏导数，试证明 证明：方法1 因为 ， 是由方程所确定的函数， 两边对x求导： 第五节习题11 代入即得到 * 解法2 隐式确定 由 得 （1） 将 代入 得 对 求导得 代入（1）得 解得 消去 方法3 利用全微分形式不变性，得 * （分以下几种情况） 隐函数的求导法则 三、小结 * * 思考题 * 思考题解答 * 练 习 题 * * * 练习题答案 隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有 . 例１　验证方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导 数在的值. 依定理知方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时的函数． 函数的一阶和二阶导数为 例2 已知，求. 例2 已知，求. 隐函数存在定理2 设函数在点 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ，，则方程 在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件， 并有 ， . 例3 设，求. 例4 设，求，，. 把看成的函数对 求偏导数得， 把看成的函数对 求偏导数得， 把看成的函数对 求偏导数得. 把看成的函数对求偏导数得 把看成的函数对求偏导数得 把看成的函数对 求偏导数得 设，， 求 ，，和. 在的条件下， 已知，其中为可微函数， 求 记, 则， 于是. 填空题: 设,则 ___________________________. 2、设,则 ___________________________, ___________________________. 设 证明： 如果函数对任何恒满足关系式,则称函数为 次齐次函数,试证:次齐次函数满足方程 . 四、设 五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: 设 ,求 设，求 （其中具有一阶连续偏导数） 设函数由方程组所确定, 且(均可微) 设而是由方程所确定的的函数,求 设由方程=0所确定, 证明:. 一、1、； 2、； 3、. 四、. 五、1、； 2、, . 六、 . 七、.