《高等数学》电子课件（同济第六版）07第九章 第7节 方向导数与梯度.ppt

* 解 由梯度计算公式得 故 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场. 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定. 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定, 而 F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k, 其中P(M), Q(M), R(M)是点M的数量函数. 势与势场 向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场), 它是由数量场f(M)产生的. 通常称函数f(M)为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场. 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场. * 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 四、小结 * * 思考题 * 思考题解答 * * 练 习 题 * * 练习题答案 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 等高线的画法 * 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 * * 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即梯度方向）爬行． 一、问题的提出 * 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． 二、方向导数的定义 （如图） * 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ * 记为 * (2)方向导数的等价定义 设与l同方向的单位向量为el?(cos?? cos?)? * * * * 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 定理 如果函数z?f(x, y)在点P (x? y)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el?(cos?? cos?))的方向导数都存在, 且有 * 故有方向导数 * 解 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的切向量方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为 * 解 由方向导数的计算公式知 * 故 * 推广可得三元函数方向导数的定义 * 则等价的方向导数定义 * 例4 求f(x? y? z)?xy?yz?zx在点(1? 1? 2)沿方向l的方向导数? 其中l的方向角分别为60?? 45?? 60?? 解 与l同向的单位向量为 因为函数可微分? 且 所以 fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3? fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3? fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? * 解 令 故 方向余弦为 * 故 * 三、梯度的概念 * 设与l同方向的单位向量为el?(cos?? cos?)? * 结论 * 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 * 等高线的画法 播放 * 例如, * 梯度与等高线的关系： * 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 * 于是 grad f(1, ?1, 2) 例7设f(x, y, z)?x2?y2?z2, 求grad f(1, ?1, 2)? 解 grad f?(fx, fy, fz) ?(2x, 2y, 2z), ?(2, ?2, 4)