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高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9-2偏导数.pptx

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第二节

一、偏导数概念及其计算

二、高阶偏导数

偏导数

第九章

第1页

一、偏导数定义及其计算法

引例:

研究弦在点x0处振动速度与加速度,

就是

中x固定于x0处,

一阶导数与二阶导数.

关于t

将振幅

第2页

定义1.

在点

存在,

偏导数,记为

某邻域内

则称此极限为函数

极限

设函数

注意:

第3页

一样可定义对y偏导数

若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x

则该偏导数称为偏导函数,

也简称为

偏导数,

记为

或y偏导数存在,

第4页

比如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x

偏导数概念能够推广到二元以上函数.

偏导数定义为

(请自己写出)

第5页

二元函数偏导数几何意义:

是曲线

在点M0处切线

对x轴斜率.

在点M0处切线

斜率.

是曲线

对y轴

第6页

函数在某点各偏导数都存在,

显然

比如,

注意:

但在该点不一定连续.

上节例

例1.求

解法1

解法2

在点(1,2)处偏导数.

先求后代

先代后求

第8页

例2.设

证:

例3.求

偏导数.

解:

求证

第9页

偏导数记号是一个

例4.已知理想气体状态方程

求证:

证:

说明:

(R为常数),

不能看作

分子与分母商!

此例表明,

整体记号,

第10页

二、高阶偏导数

设z=f(x,y)在域D内存在连续偏导数

若这两个偏导数仍存在偏导数,

则称它们是z=f(x,y)

二阶偏导数.

按求导次序不一样,有以下四个二阶偏导

数:

第11页

类似能够定义更高阶偏导数.

比如,z=f(x,y)关于x三阶偏导数为

z=f(x,y)关于xn–1阶偏导数,再关于y一阶

偏导数为

第12页

例5.求函数

解:

注意:此处

但这一结论并不总成立.

二阶偏导数及

第13页

比如,

二者不等

第14页

例6.证实函数

满足拉普拉斯

证:

利用对称性,有

方程

第15页

定理.

比如,对三元函数u=f(x,y,z),

说明:

本定理对n元函数高阶混合导数也成立.

函数在其定义区域内是连续,

故求初等函数高阶导

数能够选择方便求导次序.

因为初等函数偏导数仍为初等函数,

当三阶混合偏导数

在点(x,y,z)连续时,有

而初等

(证实略)

证实

第16页

定理.

证:令

又令

第17页

一样

在点

连续,

第18页

内容小结

1.偏导数概念及相关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在

函数在此点连续

混合偏导数连续

与求导次序无关

2.偏导数计算方法

求一点处偏导数方法

先代后求

先求后代

利用定义

求高阶偏导数方法

逐次求导法

(与求导次序无关时,应选择方便求导次序)

第19页

思索与练习

解答提醒:

P129题5

P129题5,6

即x=y=0时,

第20页

P129题6

(1)

(2)

第21页

作业

P681(4),(6),(8);3;5;

6(3);7;8;9(2)

第三节

第22页

备用题

方程

确定u是x,y函数,

连续,且

解:

第23页

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