高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9-2偏导数.pptx
第二节
一、偏导数概念及其计算
二、高阶偏导数
偏导数
第九章
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一、偏导数定义及其计算法
引例:
研究弦在点x0处振动速度与加速度,
就是
中x固定于x0处,
求
一阶导数与二阶导数.
关于t
将振幅
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定义1.
在点
存在,
偏导数，记为
某邻域内
则称此极限为函数
极限
设函数
注意:
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一样可定义对y偏导数
若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x
则该偏导数称为偏导函数,
也简称为
偏导数,
记为
或y偏导数存在,
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比如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x
偏导数概念能够推广到二元以上函数.
偏导数定义为
(请自己写出)
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二元函数偏导数几何意义:
是曲线
在点M0处切线
对x轴斜率.
在点M0处切线
斜率.
是曲线
对y轴
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函数在某点各偏导数都存在,
显然
比如,
注意：
但在该点不一定连续.
上节例
例1.求
解法1
解法2
在点(1,2)处偏导数.
先求后代
先代后求
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例2.设
证:
例3.求
偏导数.
解:
求证
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偏导数记号是一个
例4.已知理想气体状态方程
求证:
证:
说明:
(R为常数),
不能看作
分子与分母商!
此例表明,
整体记号,
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二、高阶偏导数
设z=f(x,y)在域D内存在连续偏导数
若这两个偏导数仍存在偏导数，
则称它们是z=f(x,y)
二阶偏导数.
按求导次序不一样,有以下四个二阶偏导
数:
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类似能够定义更高阶偏导数.
比如，z=f(x,y)关于x三阶偏导数为
z=f(x,y)关于xn–1阶偏导数,再关于y一阶
偏导数为
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例5.求函数
解:
注意:此处
但这一结论并不总成立.
二阶偏导数及
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比如,
二者不等
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例6.证实函数
满足拉普拉斯
证：
利用对称性,有
方程
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则
定理.
比如,对三元函数u=f(x,y,z),
说明:
本定理对n元函数高阶混合导数也成立.
函数在其定义区域内是连续,
故求初等函数高阶导
数能够选择方便求导次序.
因为初等函数偏导数仍为初等函数,
当三阶混合偏导数
在点(x,y,z)连续时,有
而初等
(证实略)
证实
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定理.
证:令
则
则
又令
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一样
在点
连续,
得
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内容小结
1.偏导数概念及相关结论
定义;记号;几何意义
函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
混合偏导数连续
与求导次序无关
2.偏导数计算方法
求一点处偏导数方法
先代后求
先求后代
利用定义
求高阶偏导数方法
逐次求导法
(与求导次序无关时,应选择方便求导次序)
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思索与练习
解答提醒:
P129题5
P129题5,6
即x＝y＝0时,
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P129题6
(1)
(2)
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作业
P681（4）,（6）,（8）；3；5；
6（3）；7；8；9（2）
第三节
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备用题
设
方程
确定u是x,y函数,
连续,且
求
解:
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