《高等数学》电子课件（同济第六版）06第九章 第6节 微分法在几何上的应用.ppt

* * 练习题答案 * * 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 ? 的参数方程: ? 的向量方程 对? 上的动点M , 即? 是 此方程确定映射 ,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 值函数. 定义: 给定数集 D ? R , 称映射 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 极限： 连续： 导数： 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 向量值函数的导数运算法则: 设 是可导向量值函数, 是可导函数, 则 C 是常向量, c 是任一常数, 向量值函数导数的几何意义: 在 R3中, 设 的终端曲线为? , 表示终端曲线在t0处的 切向量, 其指向与t 的增长方 向一致. , 则 设 例. 设空间曲线? 的向量方程为 求曲线? 上对应于 解: 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 = 6 * 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 二、空间曲线的切线与法平面 * 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 * 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. * 解 切线方程 法平面方程 * 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： * 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 * * 所求切线方程为 法平面方程为 * * 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 二、曲面的切平面与法线 * 在光滑曲面? 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面上. 命题: 事实上, 因 两边对 t 求导, * 表明这些切线都在以 的同一平面上 ， 从而切平面存在 . * 曲面 ? 在点 M 的法向量 法线方程 切平面方程 * 解 令 切平面方程 法线方程 * 特殊地：空间曲面方程为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 * 其中 则法向量的方向余弦为 * 解 切平面方程为 法线方程为 * 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 * 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) * 使曲面 与球面 例7. 确定正数 在 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 则有 又点 M 在球面上, 于是有 相切. ∥ * 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法） （求法向量的方向余弦时注意符号） 三、小结 * * 思考题 * 思考题解答 设切点 依题意知切向量为 切点满足曲面和平面方程 * 练 习 题 * *