《高等数学》电子课件（同济第六版）第七章 第2节 可分离变量的微分方程.ppt

* 第二节 可分离变量的微分方程 形如 的一阶微分方程叫做已分离变量方程 . 设 是方程的解 , 两边积分, 则有 即 (称为通积分) 形如 的方程都叫做可分离变量方程 . 可化为已分离变量形式 求解. 则有恒等式 或 * 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 令 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可 能增、减解. 如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解. * 例2. 解下述初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1 ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 * 求方程 的通解 . 解法 1：分离变量 或 ( C 0 ) 解法 2: 令 则 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 即 * 例4. 求下述微分方程的通解 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 即 * 求解微分方程 为所求解. * 例6. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子 的含量 M 成正比 , 求在衰变 过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意 , 有 (初始条件) 对方程分离变量, 得 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 * 例7. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比 , 求降落伞下落速度与时间的函数关系. 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为: 对方程分离变量, 然后积分, 得 得 利用初始条件,得 代入上式后化简, 得特解 说明: 跳伞后阶段接近于等速运动. 并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 , * (1) 找出事物的共性及可以贯穿于全过程的规律列方程 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件 (3) 求微分方程的通解 , 并根据定解条件确定特解 . 2、 解微分方程应用题的方法和步骤 内容小结 1、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分 ; 根据定解条件定常数 . * 习题7-2 P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6 * 思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 * 练 习 题 * * 练习题答案 一、求下列微分方程的通解: 1、； 2、； 3、. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、,； 2、,. 三、质量的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 秒时,速度等于,外力为, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、小船从河边出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例).求小船的航行路 线 . 一、1、； 2、； 3、. 二、1、； 2、. 三、厘米/秒. 四、取0为原点,河岸朝顺水方向为,指向对 岸,则所求航线为.