《高等数学》电子课件（同济第六版）第七章 第7节 常系数齐次线性微分方程.ppt

* 一、二阶常系数齐次线性方程 二、二阶常系数齐次线性方程解法： 三、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结及作业 * 二阶齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 一、二阶常系数齐次线性方程 * 将它代入方程(2)得 * 1. 当 时, 特征方程有两个相异实根 则微分方程有两个线性无关的特解 因此方程的通解为 * 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定), 代入方程 特征方程 : 则 因为 是特征方程的重根 , 故 不防取 u = x , 则得 因此原方程的通解为 * 3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个解 为了得到实数解, 利用解的叠加原理 , 得原方程的线 性无关特解: 因此原方程的通解为 * 二、二阶常系数齐次线性方程解法： 为常数 ) 特征方程 根 实根 特 征 根 通 解 * 例1. 求方程 的通解 . 解: 特征方程 有根 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 * 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 * * 三、n阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 * 注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数. * 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例6 * 例7. 求方程 的通解. 解: 特征方程 有根 : 因此原方程通解为: 例5. 解方程 解: 特征方程 有根 : 原方程通解 : ( 不难看出, 原方程有特解 * 例8. 解方程 解: 特征方程 即 其根为 方程通解 : * 四、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) * * * 思考题 求微分方程 的通解. * 思考题解答 令 则 特征根 通解 * 练 习 题 * 练习题答案