《高等数学》电子课件（自编教材）第十二章 第6节 二阶常系数非齐次线性微分方程.ppt

* 三、小结 * 第六节 常系数线性非齐次微分方程 方程 为常数 ) 叫做二阶常系数线性非齐次微分方程 . 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法: 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 的待定形式 , 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . * 一. 为常数 ) 型 为实数 , 设特解形式为 其中 为待定多项式 , 将 代入原方程 , 得 (1) 若 则取 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . 不是特征方程的根 , 即 * 为常数 ) (4) 设特解为 (2) 若 但 则 是一个待定系数的 m 次多项式 , 这时特解形式为 (3) 若 且 则 是一个待定系数的 m 次多项式 , 这时特解形式为 小结 对方程(4), 当 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 是特征方程的单根 , 即 是特征方程的重根 , 即 是特征方程的 k 重根 时, 可设特解为 * 例1. 求方程 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数 , 得 于是所求特解为 * 例2. 求方程 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数 , 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 * 特征方程为 其根为 方程特解为 代入方程得 比较系数 , 得 * 例4. 求解定解问题 解: 本题 而特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 * 于是所求解为 原方程通解为 解得 * * 解：设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 例7 写出微分方程 的待定特解的形式. * 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0 , 1 ) , 上述结论也可推广到高阶方程的情形 。 方程 为常数 ) * 例8. 求方程 的一个特解. 解: 本题 特征方程 所以可设原方程 由于 不是特征方程的根 , 代入方程得 特解为 比较系数 , 得 于是求得一个特解 * 例9. 求方程 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数 , 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 由于 为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为 * 例10. 设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 解: (1) 特征方程 即 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 即 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 * 三、小结 1. 为特征方程的 重根 , 则设特解为 2. 为特征方程的 重根 , 则设特解为 * 思考与练习 1. 求方程 的通解 . 提示: 对应齐次方程通解 1) 当 时, 设特解 2) 当 时, 设特解 答案: 原方程的通解为 * 2 . (填空) 设 1) 当 时可设特解为 2) 当 时可设特解为 提示: