《高等数学》电子课件（自编教材）第十二章 第3节 可降阶的高阶微分方程.ppt

* 四、小结 * 第三节 可降阶的高阶微分方程 一. 令 则 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 * 例1. 求解 解: ( 这里 ) * * 二. 型的微分方程 设 则 于是原方程化为一阶方程 设其通解为 则 再一次积分, 得原方程的通解 * * 例4. 求解 解: 设 则 代入方程得 分离变量 积分得 即 利用 得 于是有 两端再积分得 利用 得 因此所求特解为 * 三. 型的微分方程 设 则 故方程化为 设它的通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 * 例5. 求解 代入方程得 即 两端积分得 即 再分离变量积分得 故所求通解为 解: 设 则 * 例6. 解下列初值问题 解: 令 则 代入方程得 积分得 利用初始条件 , 得 从而 但根据 积分得 再利用 得 故所求特解为 应取 * 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 例7. 设函数 二阶可导, 且 过曲线 上任一点 P(x,y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线 , 区间 [ 0, x ]上以 且 恒为 1 , 求 解: 设曲线 由于 所以 于是 在点 处的切线倾角为 满足的方程 . 积记为 记为 * 再利用 y (0) = 1 得 利用 得 两边对 x 求导, 得方程 定解条件为 令 方程化为 则 解得 利用定解条件得 再解 得 故所求曲线方程为 * 解 将方程写成 积分后得通解 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 例 8 * 解 代入原方程 解线性方程, 得 两端积分,得 原方程通解为 例 9 * 内容小结 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 则 令 则 * 思考与练习 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便 (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号 * 解： 都是微分方程的解, 是对应齐次方程的解, 常数 所求通解为 * * 4、求 满足 的特解。 解：方程中不含 x 设 代入方程得 两边积分得 注意到初始条件 分离变量 两边积分 所求特解为 3、 已知，，都是微分方程的解，求此方程所对应齐次方程的通解.