第十二章 第5节 全微分方程.ppt

一、全微分方程及其求法 例1. 求解 例2. 求解 二、积分因子法 思考: 常用的微分倒推式有 例5 求解 三、一阶微分方程小结 * 1.定义: 则 若有全微分形式 例如 全微分方程 或恰当方程 所以是全微分方程. 2.解法: (1)应用曲线积分与路径无关. 通解为 (2) 用直接凑全微分的方法. 为全微分方程 解: 因为 故这是全微分方程 , 取 则有 因此方程的通解为 解: 因为 所以这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程写为 即 故原方程的通解为 或 解 是全微分方程, 原方程的通解为 例3 解 是全微分方程, 将左端重新组合 原方程的通解为 例4 定义: 问题: 如何求方程的积分因子? 如何求解方程 这不是一个全微分方程 , 就化成 对一个非全微分方程 , 若有一个适当的函数 使 为全微分方程 , 在简单情况下, 求积分因子可凭观察和经验得到 . 则称函数 为原方程的积分因子. 但若在方程两边同乘 例2 的方程 . 解: 分项组合得 即 选择积分因子 同乘方程两边 , 得 即 因此通解为 即 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 微分倒推公式 解 将方程左端重新组合,有 例6 求微分方程 原方程的通解为 解 将方程左端重新组合,有 原方程的通解为 可积组合法 例7 求微分方程 * * * 连续可微函数，使方程 成为全微分方程.则称为方程的积分因子. 判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方程的通解: 1、； 2、； 3、. 利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通解: 1、； 2、； 3、. 验证是微分方程的积分因子,并求方程 的通解. 已知,试确定, 使为全微分方程,并求此全微分方程的通解. 一、1、； 2、不是全微分方程； 3、. 二、1、； 2、； 3、. 三、.(或) 四、.