《高等数学》电子课件（自编教材）第十二章 第1节 微分方程的基本概念.ppt

* 微分方程引言 《高等数学》课程的教学内容到现在我们已经学习了哪些内容？一元函数微积分、多元函数微积分、向量代数和空间解析几何以及无穷级数，下面我们将学习高等数学的最后一部分内容——微分方程。 第十二章 微分方程 通过前面的学习我们知道，微积分的研究对象是函数关系，利用微积分可以解决许多实际问题，但是，在现实生活及科学研究中，仍有大量的实际问题往往很难直接得到所研究变量的函数关系，却能比较容易建立起这些变量与他们的导数或微分关系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，这就是微分方程。通过求解这种方程同样可以得到指定未知量的函数关系。因此微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各学科进行科学研究的强有力的工具 * 本章我们主要介绍微分方程基本概念、几种特殊一阶微分方程及二阶方程求解方法及简单的应用。 下面我们学习第一节内容：微分方程的基本概念。 第一节 微分方程基本概念 在这节中，我们首先给出两个引例，然后给出微分方程的基本概念，重点是通过引例对微方程基本概念的理解。 * 第一节 微分方程的基本概念 引例1: 一平面曲线通过点(1,2) 处,且该曲线上任意点P(x, y)处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1 , 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 引例2. 列车在平直线路上以 的速度行驶,制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 已知 由前一式两次积分,可得 ( 为任意常数 ) 利用后两式可得 因此所求运动规律为 问题: （1）能否求出制动后多少时间列车才能停住 ？ （2）制动后行驶了多少路程 . * 1、含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程 , 3、方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 引例1 引例2 * 4、若函数代入方程能使方程成为恒等式 , 则称此函数为 微分方程的解。 （1）解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数 特解的条件称为初始条件; 相同 , 这样的解称为微分方程的通解 ; 5、用来确定 引例1 引例2 （2）不含任意常数的解称为特解。 * 6、微分方程解的图形称为方程的积分曲线 . 对 n 阶方程有n个初始条件 如例1中。 微分方程 通解 特解 积分曲线族见黑板所示： 初始条件 * 例1. 验证函数 是微分方程 的解 , 并求满足初始条件 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 显然 是两个独立的任意常数 , 故它是方程的通解 为常数) * 例1. 验证函数 是微分方程 的解 , 并求满足初始条件 的特解 . 为常数) 是方程的通解 . 利用初始条件易得 故所求特解为 * 求该曲线满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x,y) 处的法线与 x 轴交点为Q , 且线段PQ 被 y 轴平分, 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x,y) 处的法线方程为 * 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线; 四、小结 * 练习与思考题 解答： 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. * * 2、二阶微分方程 试问下列函数 是否是方程的解,是通解还是特解? 解: 分别将四个函数代入方程,均 左边=右边 则这四个函数均为方程的解. 是方程的特解. 是方程的特解. 其中有两个任意常数是方程的通解. 其中只有一个常数,则即不是方程的 通解,也不是特解.