高等数学7.1微分方程的基本概念.pdf

第七章 常微分方程 §1. 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 一、问题的提出 例 1 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上任一点 ( M, )x y 处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 所求曲线为 y y (x ) dy 2x; x 1, y 2 dx y 2xdx , y x 2 C , C 1, 所求曲线方程为 y x 2 1 . 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后t秒后行驶s米 s s(t ) d 2 s dt 2 0.4 t 0, s 0, v 20, ds 2 s 0.2t C t C v 0.4t C , 1 2 dt 1 20, C 0 C 代入条件后知 1 2 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 代入条件后知 C 20, C 0; s 0.2t 2 C t C 1 2 1 2 ds ds v 0.4t 20, v 0.4t C1 dt dt s 0.2t 2 20t , 列车完全停住时 v 0 开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4 列车在这段时间内行驶了 s 0.2 502 20 50 500(米). 二、微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.  x y xy , 例   y y2