高等数学-11.1 微分方程的基本概念.ppt

第十一章微分方程

在科学研究和生产实际中，经常要寻求表示客观事物的变量之间的函数关系。但在许多实际问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，却比较容易列出含有待求函数及其导数的关系式，这样的关系式就称为微分方程。微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数，就是解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念、几种常用微分方程的解法以及线性微分方程的理论。

二、微分方程的基本概念一、引例11.1微分方程的基本概念

丹尼尔伯努利解设所求曲线的方程为由题意得（1）（2）把（1）式两端积分?得（3）把条件（2）代入（3）式?得即得所求曲线方程一、引例处的切线一曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点，求这曲线的方程.例1的斜率为

解设列车的运动方程为由题意得（4）（5）对（4）式两端积分一次?得（6）再积分一次?得（7）将条件（5）依次代入（6）式和（7）得列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h）的速度行驶，当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间行驶了多少路程？例2于是（6）式和（7）式变为

丹尼尔伯努利令v?0?得到列车从开始制动到完全停住所需的时间所以列车在制动阶段行驶的路程

二、微分方程的基本概念丹尼尔伯努利微分方程中未知函数只与一个自变量有关的方程.微分方程中未知函数与两个或两个以上自变量有关的方程.1、微分方程及微分方程的阶联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的的等式.微分方程：常微分方程:偏微分方程：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数.微分方程的阶：二阶.

丹尼尔伯努力阶隐式方程的一般形式为：阶显式方程的一般形式为：2、微分方程的解、通解如果将一个函数代入微分方程中，使方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的解?如果微分方程的解中含有任意常数?且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同?则这样的解叫做微分方程的通解?注：1、微分方程的通解一定是解，微分方程的解不一定是通解.2、微分方程的通解不一定是全部解.

丹尼尔伯努利3、微分方程的特解和初始条件如果微分方程的一个解不含任意常数，则称这个解是微分方程在某一特定条件下的解，简称为特解.为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,这个条件称为定解条件.例1中的和例2中称为初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.

丹尼尔伯努利例3验证：函数是微分方程的解.并求满足初始条件的特解.将和的表达式代入原方程故是原方程的解.解因为

丹尼尔伯努利因为所以所求特解为

丹尼尔伯努利在几何上表示在面上过点的一条积分曲线。4、微分方程解的几何意义在几何上表示在面上过且在该点处切线斜率为的那条积分曲线.