《高等数学》电子课件（同济第六版）第七章 第1节 微分方程的基本概念.ppt

* 第一节 微分方程的基本概念 引例1: 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1 , 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 * 引例2. 列车在平直线路上以 的速度行驶,制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 已知 由前一式两次积分,可得 ( 为任意常数 ) 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能 停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . * 1、含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程 , 3、方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 引例1 引例2 * 4、若函数代入方程能使方程成为恒等式 , 则称此函数为 微分方程的解。 （1）解中所含独立的任意常数的个数与方程 特解的条件称为初始条件; 的阶数相同 , 这样的解称为微分方程的通解 ; 5、用来确定 引例1 引例2 * 6、微分方程解的图形称为方程的积分曲线 . 对 n 阶方程有n个初始条件 * 例1. 验证函数 是微分方程 的解 , 并求满足初始条件 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 显然 是两个独立的任意常数 , 故它是方程的通解 为常数) * 例1. 验证函数 是微分方程 的解 , 并求满足初始条件 的特解 . 为常数) 是方程的通解 . 利用初始条件易得 故所求特解为 * 求该曲线满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x,y) 处的法线与 x 轴交点为Q , 且线段PQ 被 y 轴平分, 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x,y) 处的法线方程为 * 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线; 四、小结 * * 思考题 * 思考题解答 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. * 练 习 题 * * 练习题答案 函数是微分方程的什么解? 三、设曲线上点处的法线与轴的交点为, 且线段被轴平分,试写出该曲线所满足的微 分方程. 填空题: 1、是______阶微分方程； 2、是______阶微分方程； 3、是______阶微分方程； 4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 . 二、确定函数关系式所含的参数,使其 满足初始条件,. 四、已知函数,其中为任意常 数,试求函数所满足的微分方程 . 一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2. 二、 三、. 四、.