《高等数学》电子课件（同济第六版）第七章 第4节 一阶线性微分方程.ppt

* 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 线性的; 非线性的. * 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) * 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐方程通解形式 与齐方程通解相比: * 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 设通解形式 * 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 * 解 例1 * 例2. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求解. 令 则 代入非齐次方程得 解得: 故原方程通解为 * 例3. 解方程 * 求微分方程 的通解. * 例5. 求方程 的通解 . 解: 注意 用 这是以 为因变量 , y 为自变量的一阶线性方程 由一阶线性方程通解公式 , 得 乘方程两边 , 得 即所求通解为 * 例6 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 * 所求曲线为 * 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 二、伯努利方程 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. * 求出通解后，将 代入即得 代入上式 * 例1. 求方程 的通解 . 解: 令 则方程变形为 其通解为 将 代入 , 得原方程通解: * 解 例 2 * 例3 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 * 解 分离变量法得 所求通解为 * 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 * 思考与练习 判别下列方程类型 提示: 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 * 三、小结 1.齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 * P315 1(1)(3) (6) (7) (10) ; 2 (2)(4)(5) ,3,4, 6 , 7 (2)(3) (5)，8(1)((2)(3)。 作业7-4 * 练 习 题 * * * 练习题答案 * 一、求下列微分方程的通解: 1、； 2、； 3、. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1、； 2、 三、设有一质质点作直线运动从速度等于零 的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正 比(比例)的力作用于它,此外还受 一与速度成正比(比例)的阻力作用,求质 点运动的速度与时间的函数关系 . 求下列伯努利方程的通解: 1、； 2、. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解: 1、； 2、； 3、. 已知微分方程,其中 ,试求一连续函数,满 足条件,且在区间满足上述方程 . 一、1、； 2、； 3、. 二、1、； 2、. 三、. 四、1、； 2、. 五、1、； 2、； 3、. 六、.