《高等数学》电子课件（自编教材）第十二章 第4节 高阶线性微分方程.ppt

* 一. 二阶线性齐次方程解的结构 二. 二阶线性非齐次方程解的结构 三、小结 * 第四节 高阶线性微分方程 一阶线性方程 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 推广 高阶线性微分方程情形 * 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 * 定理得证 . 一. 二阶线性齐次方程解的结构 定理 1 若函数 是二阶线性齐次方程 的两个解, 则 也是该方程的解. 叠加原理 证: 将 代入方程左边 , 得 说明: 解中形式上含有两个任意常数时不一定是通解 例如, 是齐次方程的解 , 也是齐次 方程的解 , 并不是通解 . 但是 * 定义: 设 是定义在区间 I 上 的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得当 时有 则称这 n个函数在区间I 上线性相关 , 否则称为线性无关. 例如 , 在 (?? , ?? ) 上都有 故在任何区间 I 上都线性相关 ; 又如 , 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 故 在任何区间 I 上都 线性无关 . * 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 若 中有一个恒为 0 , 则 必线性 相关 * 定理 2 若 是二阶线性齐次方程(1)的两个 线性无关特解 , 则 是该方程的 例如, 方程 有特解 且 常数 则方程的通解为 通解. * 二. 二阶线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解 , 是相应齐次方程(2)的通解. 定理 3 设 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程左端 , 得 故 是非齐次方程的解 , 又Y 中含有两个 独立任意常数 , 从而也是通解 . 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 * 定理 4 设 分别是方程 的特解 , 则 是方程 的特解 . 设 是对应齐次方程的 n 个线性 无关的特解 , 定理 5 ( 推广 ) 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解 , 则非齐次方 程的通解为 * * 设线性无关函数 都是二阶非齐次 线性方程 的解 , 是任意常数 , 则该方程的通解是 ( ) . 例2 . 提示: 都是对应齐次方程的解, 且线性无关, 因为假设它们线性相关 , 则有 即 从而推出 线性相关 , 与已知条件矛盾. * 三、小结 主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； * 练 习 题 * * 练习题答案 验证及都是方程 的解,并写出该方程的通 解 . 证明下列函数是相应的微分方程的通解: 1、是方程 的通解； 2、是 方程的通解 . 三、已知是齐次线性方程 的一个解,求此方程 的通解 . 四、已知齐次线性方程的通解为 ,求非齐次线性方程 的通解 . 一、. 三、. 四、.