《高等数学》电子课件(同济第六版)第二章 第4节 隐函数及参数方程求导.ppt
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* 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、参数方程求导 四、相关变化率 五、小结及作业 第四节 隐函数及参数方程求导 * 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 一、隐函数的导数 * 例1 解 解得 * 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. * * 例4 解 * 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 二、对数求导法 * 例5 解 等式两边取对数得 * 例6 解 等式两边取对数得 * 一般地 * 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 三、由参数方程所确定的函数的导数 如 * 由复合函数及反函数的求导法则得 * * 例8 解 所求切线方程为 * 例9 解 * 解 * 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 四、相关变化率 * 例11 解 仰角增加率 * 例12 解 水面上升之速率 4000m * 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解. * * 思考题 * 思考题解答 不对. * 练 习 题 * * * * 练习题答案 * * * 设,由 可知,对吗?
填空题:
设确定了是的函数,则=________,________.
曲线在点(1,2)处的切线方程是___________.
曲线在处的法线方程________.
已知,则=______;=______.
设,则=________.
求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数:
;
;
.
用对数求导法则求下列函数的导数:
;
;
.
求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:
1、 ;
2、 设存在且不为零 .
求由参数方程所确定的函数的
三阶导数 .
六、设满足,求 .
在中午十二点正甲船的6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里,以8公里/小时的速率向南行驶,问下午一点正两船相距的速率为多少?
注入水深8米,上顶直径8米的正圆锥形容器中,其速率为每分钟4立方米,当水深为5米时,其表面上升的速率为多少?
一、1、,;
2、 3、;
4、; 5、.
二、1、;
2、-;
3、.
三、1、;
2、;
3、.
四、1、; 2、.
五、. 六、.
七、-2.8(公里/小时).
八、(米/分).
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