同济大学高等数学第六版上第二章第五节 函数的微分.ppt

* 函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 二、微分的定义 定义 (微分的实质) 由定义知: 三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性 (2) 充分性 由微分的定义及上述定理可知 这表明 不仅是比 高阶的无穷小，而且也是比 高阶的无穷小，因此 四、微分的几何意义 几何意义:(如图) M T ） P N 五、微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 例1 解 例2 解 六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性 例3 解 例4 解 例5 解一 两边同时求微分得 解二 两边取对数得 两边对 x 求导，有 由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法 在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法 *