《高等数学》电子课件（同济第六版）第十二章 第5节 函数的幂级数展式的应用.ppt

* 一、近似计算 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健: 通过估计余项,确定精度或项数. * 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 解 * 余和: * 例2 解 其误差不超过 . * 二、计算定积分 解法 逐项积分 展开成幂级数 定积分的近似值 被积函数 * 第四项 取前三项作为积分的近似值,得 例3 解 收敛的交错级数 * 三、求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法; (2)拆项法; (3)递推法. 例4 解 * * 2.阿贝尔法(构造幂级数法): (逐项积分、逐项求导) 例4 解 * * 例5 解 1、一阶微分方程问题 幂级数解法: 将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解. ① 设所求解为 本质上是待定系数法 四、微分方程解法: 例1. 解: 根据初始条件, 设所求特解为 代入原方程, 得 比较同次幂系数, 得 故所求解的幂级数前几项为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、二阶齐次线性微分方程 定理. 则在－R x R 内方程②必有幂级数解: ② 设 P(x), Q(x) 在 (－R, R ) 内可展成 x 的幂级数, (证明略) 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的. 例2. 的一个特解. 解: 设特解为 代入原方程整理得 比较系数得: 可任意取值, 因是求特解, 故取 从而得 当n 4 时, 因此 注意到: 此题的上述特解即为 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 解: 求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它). 设方程的解为 代入③: ③ 整理后得: 比较系数, 得 例如: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是得勒让德方程的通解: 上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 可以任意取, 它们是方程的 两个线性无关特解. * 五、欧拉公式 复数项级数: * 复数项级数绝对收敛的概念 三个基本展开式 * * 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系. 欧拉公式 * 六、小结 １、近似计算,求不可积类函数的定积分， ２、微分方程的幂级数的解法． 求数项级数的和，欧拉公式的证明； * * 练 习 题 * 练习题答案