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第十二章无穷级数
引言:
一、无穷级数简介:无穷级数是数学分析中的一个重要组成局部,是表示函数,特别是表示非初等函数的一个重要的数学工具,与极限理论并称为数学分析两大理论.
二、分类:
常数项级数:它是函数项级数的特殊情况,又是函数项级数的根底.
函数项级数:它是研究函数性质以及进行数值计算的重要手段.
第一节常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的相关概念
1.引例:关于圆的面积问题:求半径为的圆的面积.
首先作圆的内接正六边形,算出其面积,得到圆面积的一个近似值:.
然后,以正六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形,算出这6个等腰角形面积之和,得到圆面积的一个近似值:,即正十二边形的面积.
再次,以正十二边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形,算出这12个等腰三角形的积,得到圆面积的一个近似值:,即正二十四边形的面积.
如此进行次,得到圆面积的近似值,即正边形的面积.越大,近似的效果越好,自然地认为,圆面积是无穷多个数累加的和,即
.
抽去面积问题的具体意义,就得到无穷级数的概念.
2.常数项无穷级数:设有数列,将该数列的各项依次用加号连接所成的表达式称为常数项无穷级数,简称常数项级数或级数,记作,即.其中称为级数的通项或一般项.
注:1°.级数是无穷多个数相加的结果.
2°.级数的形成经历了一个有限到无限的过程.
3.级数的和:
称级数的前项和为级数的局部和.称数列为级数的局部和数列.
假设局部和数列有极限,即,那么称级数收敛,称为级数的和,即
.
称差值为级数的余项,显然.
假设数列的极限不存在,那么称发散.
例1.讨论等比级数(几何级数)的敛散性,其中.
解:(1).假设,那么局部和
.
当时,有,那么收敛.
当时,有,那么发散.
(2).假设,那么局部和,有,那么发散.
(3).假设,那么局部和,有不存在,那么发散.
综上,等比级数在时收敛,在时发散.
例2.证明等差级数发散.
证明:由于局部和,有,从而发散.
例3.判定级数的敛散性.
解:由于通项,因此局部和,且,那么收敛,其和为1.
二、收敛级数的根本性质
性质1:假设级数收敛,和为,那么级数也收敛,和为,其中.
性质2:假设级数与都收敛,其和分别为和,那么也收敛,其和为.
性质3:在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的敛散性.
性质4:假设级数收敛,那么对该级数的项任意加括号后所形成的级数
仍收敛.
注:1°.反之不成立,即去掉收敛级数各项中的括号后得到的级数未必收敛.
例如:收敛于0,但去掉括号后所形成的级数
却发散.因为的局部和不存在极限.
2°.假设级数的项加括号后所形成的级数发散,那么也发散.
性质5:假设级数收敛,那么.
注:1°.假设,那么发散.
2°.假设,那么未必收敛.
例4.证明调和级数发散.
证明:用反证法.
假设级数收敛于,再令该级数的局部和为,有,从而也有,即.但
,
这与矛盾,从而调和级数发散.
三、级数收敛的判别法——(柯西审敛原理)
定理:级数收敛,,,,都有成立.
证明:级数收敛数列收敛,,,,都有
成立.
例5.利用柯西审敛原理判定级数的敛散性.
解:,,要使不等式
成立,只须.
于是,,,,,都有成立,由柯西审敛原理知,数收敛.
第二节常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
1.正项级数及其收敛性
(1).正项级数:假设级数中的通项,那么称为正项级数.
(2).正项级数收敛:设正项级数的局部和数列收敛于,那么称收敛,其和为.
注:正项级数的局部和数列是单调增加的数列.
(3).正项级数收敛的性质:
定理1.正项级数收敛的局部和数列有界.
注:正项级数发散的局部和数列无界.
2.正项级数审敛法(敛散性判别法)
(1).比拟审敛法
定理2.对正项级数和,满足,,假设收敛,那么收敛;假设发散,那么发散.(大的收敛保证小的必收敛;小的发散导致大的发散)
证明:1°.设收敛于和,那么的局部和
,
即局部和数列有上界,且单调增加,于是由单调有界准那么知收敛,从而也收敛.
2°.假设收敛,由1°知也收敛,出现矛盾,故发散.
推论:对正项级数和,假设收敛,且,,有,那么收敛.假设发散,且,,有,那么发散.
例1.讨论级数(广义调和级数)的收敛性.
解:(1).当时,有,而调和级数发散,从而广义调和级数发散.
(2).当时,由于时,有,所以,.
从而级数的局部和
.
这说明数列有界,从而广义调和级数收敛.
综上,广义调和级数当时收敛,当发散.
例2.证明级数是发散的.
证明:由于,从而,而级数是调和级数,发散.故级数是发散的.
(2).比拟审敛法的极限形式
定理3.对正项级数和,满足.
(1).假设,与同敛态.
(2).假设,且收敛,那么收敛.
(3)