高数(同济第六版)第十二章总结.doc

第十二章 无穷级数 常数项级数的概念 级数n=1∞μn 若limn→∞Sn 若limn→∞Sn 收敛级数的五大性质： 常数项级数的审敛法 正项级数（n=1∞μn和 = 1 \* GB3 ①其部分和数列Sn有界 = 2 \* GB3 ②（大收小收，小散大散）有μn≤υn，若n=1∞υn收敛，则n=1∞ = 3 \* GB3 ③（敛散相同性）limn→∞μnυn 若0≤l≤+∞，且n=1∞υn 若l≥0或l=+∞，且n=1∞ = 4 \* GB3 ④d’Alermbert判别法：limn→∞μn+1μn= ρ1，则收敛 ρ1，则发散 ρ=1，判别法失效 = 5 \* GB3 ⑤Cauchy判别法：limn→∞nμn ρ1，则收敛 ρ1，则发散 ρ=1，判别法失效 交错级数(正负交错的级数)审敛法: 交错级数n=1∞(-1)n-1μn 绝对收敛：若级数n=1∞μn构成的正项级数n=1∞μn收敛，则称级数n=1 条件收敛：若级数n=1∞μn收敛，而n=1 幂级数 总结Abel定理及相关 结论一个幂级数总在 如图的黑线（关于y 轴对称）范围内（不 包括正负R）收敛 对于一个幂级数的 系数项a 有lim 1ρ ，ρ≠0 R（收敛半径）= +∞ ，ρ=0 ， ρ=+∞ 幂级数n=0∞an 逐项积分公式0x 逐项求导公式S 所得后的幂级数与原级数有相同的收敛半径 函数展开成幂级数 泰勒公式等延伸知识点不考（考研要求） 几个已求得的幂级数展开式： = 1 \* GB3 ①ex=n=0 = 2 \* GB3 ②sinx=k=0∞(-1)k(2k+1)!x2k+1 = 3 \* GB3 ③ 第五节 傅立叶级数 一个以2π为周期的函数f(x)，可展开成三角函数： f a a b Dirichlet充分条件： = 1 \* GB3 ①fx是以2π为周期的函数 = 2 \* GB3 ②在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 = 3 \* GB3 ③在一个周期内至多只有有限个极值点 fx的傅立叶级数收敛 X是fx的连续点时，级数收敛于f X是fx的间断点时，级数收敛与